Floyd算法求最短路问题
Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法，也要高于执行V次SPFA算法。
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
给出两个通用的程序
- 程序1
%floyd算法通用程序，输入a为赋权邻接矩阵
%输出为距离矩阵D,和最短路径矩阵path
clc
clear
a=[Inf,Inf,10,Inf,30,100;Inf,Inf,5,Inf,Inf,Inf;Inf,Inf,Inf,50,Inf,Inf;Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,10;Inf,Inf,Inf,20,Inf,60;Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf];%邻接矩阵
s=1;
t=6;%这里设置哪到哪的最短路
n=size(a,1);
D=a;
path=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end
end
end
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end
end
end
end
%% 配合floyd算法的后续程序,s为源点,t为宿点
%L为长度,R为路由
%若出现提示形如“试图访问 D(0,2)；索引必须为正整数或逻辑值”提示说明不存在最短路
L=zeros(0,0);
R=s;
while 1
if s==t
L=fliplr(L);
L=[0,L];
return
end
if D(s,t)==Inf
L=Inf;break;
else
L=[L,D(s,t)];
R=[R,path(s,t)];
s=path(s,t);
end
end
a;%a为输入的邻接矩阵
D;%输出两点间的最短路长
path;%输出路由矩阵，即最短路径矩阵，虽然我也不懂是啥
L=L(length(L))%L的最后一位即为s到t的最短路长 key
R%这里输出最短路的路径 key
- 程序2
clear;
clc;
n=6;
a=zeros(n);
a(1,2)=50;
a(1,4)=40;
a(1,5)=25;
a(1,6)=10;
a(2,3)=15;
a(2,4)=20;
a(2,6)=25;
a(3,4)=10;
a(3,5)=20;
a(4,5)=10;
a(4,6)=25;
a(5,6)=55;
a=a+a';
M=max(max(a))*n^2;
%M为充分大的正实数
a=a+((a==0)-eye(n))*M;
path=zeros(n);
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);
path(i,j)=k;
end
end
end
end
a, path- 另外，求一个城市到另一个城市的最短路还可以用如下方法：
%求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下：
clc,clear
a=zeros(6);
a(1,2)=50;
a(1,4)=40;
a(1,5)=25;
a(1,6)=10;
a(2,3)=15;
a(2,4)=20;
a(2,6)=25;
a(3,4)=10;
a(3,5)=20;
a(4,5)=10;
a(4,6)=25;
a(5,6)=55;
a=a+a';
a(find(a==0))=inf;
pb(1:length(a))=0;
pb(1)=1;index1=1;
index2=ones(1,length(a));
d(1:length(a))=inf;
d(1)=0;temp=1;
while sum(pb)<length(a)
tb=find(pb==0);
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
temp=tb(tmpb(1));
pb(temp)=1;
index1=[index1,temp];
temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
index2(temp)=index1(temp2(1));
end
d, index1, index2