zoj 3732 Graph Reconstruction(Havel-Hakimi定理)

题意:给出n个点的度数,构造出符合度数的简单图(即没有自环和重边),如果有多解输出两个。

思路:Havel-Hakimi定理的应用,上一次看到这个定理已经是好久以前了,艰难的怀念起这个定理,写完以后各种wa,由于是别人给讲的题意,没仔细看题,最后发现居然是输出多解的时候少输出一组n和m,崩溃了……Havel-Hakimi定理还是蛮好理解的,可以百度一下,这样有解和无解都没问题,剩下的只有是否存在多解的问题。直觉上想,如果存在多解,那么其他解应该是一组解中的某些边进行交换得到的。再看看Havel-Hakimi定理的构造过程,按度数排序后,每次选一个度数最大的点,然后将后面的点的度数依次减1,表示该顶点和相应的顶点有边相连,重复进行上面的操作,如果有点的度数减到-1,那么说明无解。可以看出,这个构造过程每次都会满足一个顶点,这个过程有点类似于贪心,在这个过程中,如果把某两个点“互换”,那么就可以构造出多解的,那么什么样的两个点才可以互换呢,比如我现在已经排完序,要减的度数序列一直到p,这时,如果p+1的点的度数和p是相同的,那么p位置和p+1是可以"互换“的,连这两个点中的哪一个都不会影响结果……


代码:


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Inf 0x3FFFFFFFFFFFFFFFLL
#define eps 1e-9
#define pi acos(-1.0)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100+10;
const int maxm=100000+10;
struct Edge
{
    int u,v;
}edges[maxm],ee[maxm];
struct Node
{
    int u,d;
    bool operator < (const Node &a) const
    {
        return d>a.d;
    }
};
Node node[maxn],nd[maxn];
int flag,n,m,mm;
void getother(int s,int z)
{
    for(int i=0;i<n;++i)
      nd[i]=node[i];
    for(int i=0;i<m;++i)
      ee[i]=edges[i];
    int tm=nd[z].u;
    nd[z].u=nd[z+1].u;
    nd[z+1].u=tm;
    mm=m;
    for(int i=s;i<n;++i)
    {
        if(i!=s) sort(nd+i,nd+i+n-i);
        if(nd[i].d==0) break;
        int p=i+nd[i].d;
        if(p>=n||nd[p].d<1)
        {
            flag=-1;
            return ;
        }
        for(int j=1;j<=nd[i].d;++j)
        {
            ee[mm].u=nd[i].u;
            ee[mm].v=nd[i+j].u;
            mm++;
            nd[i+j].d--;
        }
    }
}
void solve()
{
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        sort(node+i,node+i+n-i);
        if(node[i].d==0) break;
        int p=i+node[i].d;
        if(p>=n||node[p].d<1)
        {
            flag=-1;
            return ;
        }
        if(flag==0&&p+1<n&&node[p].d==node[p+1].d)
        {
            flag=1;
            getother(i,p);
            if(flag==-1) return ;
        }
        for(int j=1;j<=node[i].d;++j)
        {
            edges[m].u=node[i].u;
            edges[m].v=node[i+j].u;
            m++;
            node[i+j].d--;
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=0;i<n;++i)
        {
            scanf("%d",&node[i].d);
            node[i].u=i;
        }
        flag=0;
        m=mm=0;
        solve();
        if(flag==-1) printf("IMPOSSIBLE\n");
        else if(flag==0)
        {
            printf("UNIQUE\n");
            printf("%d %d\n",n,m);
            for(int i=0;i<m;++i)
            {
                if(i) printf(" ");
                printf("%d",edges[i].u+1);
            }
            printf("\n");
            for(int i=0;i<m;++i)
            {
                if(i) printf(" ");
                printf("%d",edges[i].v+1);
            }
            printf("\n");
        }
        else
        {
            printf("MULTIPLE\n");
            printf("%d %d\n",n,m);
            for(int i=0;i<m;++i)
            {
                if(i) printf(" ");
                printf("%d",edges[i].u+1);
            }
            printf("\n");
            for(int i=0;i<m;++i)
            {
                if(i) printf(" ");
                printf("%d",edges[i].v+1);
            }
            printf("\n");
            printf("%d %d\n",n,m);
            for(int i=0;i<m;++i)
            {
                if(i) printf(" ");
                printf("%d",ee[i].u+1);
            }
            printf("\n");
            for(int i=0;i<m;++i)
            {
                if(i) printf(" ");
                printf("%d",ee[i].v+1);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

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