无权边二分图的 二分匹配 模版及解析

九野的博客，转载请注明出处：http://blog.csdn.net/acmmmm/article/details/10967931

 

最小边覆盖 = N - 二分图最大匹配

二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数

 

优化一：时间戳优化，用Time 优化匹配时初始化T数组，要把T数组改成 int 型， 注意 Time 和 T数组 初始化的位置不是每次二分匹配，而是 在最开始之前

详见：http://blog.csdn.net/acmmmm/article/details/13168209

 

优化二：先用BFS或DFS 的交叉染色法贪心出一个匹配，再在此基础上增广，而不是从空匹配增广

详见：http://blog.csdn.net/acmmmm/article/details/10966383

 

优化三：使用邻接表

 

int lef[N], pn;//lef[v]表示Y集的点v 当前连接的点 , pn为x点集的点数 
bool T[N];     //T[u] 表示Y集 u 是否已连接X集
vector<int>G[N]; //匹配边  G[X集].push_back(Y集)  注意G 初始化

bool match(int x){ // x和Y集 匹配 返回x点是否匹配成功
	for(int i=0; i<G[x].size(); i++)
	{
		int v = G[x][i];
		if(!T[v])
		{
			T[v] = true;
			if(lef[v] == -1 || match( lef[v] ))   //match(lef[v]) : 原本连接v的X集点 lef[v] 能不能和别人连，如果能 则v这个点就空出来和x连
			{
				lef[v] = x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int solve(){
	int ans = 0;
	memset(lef, -1, sizeof(lef));
	for(int i = 1; i<= pn; i++)//X集匹配，X集点标号从 1-pn 匹配边是G[左点].size()  
	{
		memset(T, 0, sizeof(T));
		if( match( i ) ) ans++;
	}
	return ans;
}

 

 

 

最小顶点覆盖：

对于二部图，图中有一些边。

要选择最少的点使得所有边都被覆盖（当这条边的任意一个端点被选择或者两个端点同时被选择，则称这条边被覆盖了）

yy得证：

最小顶点覆盖数 = 最大匹配数

最大独立集：

而那些没有被选择的点统称最大团

所以最大团 = X集点数+Y集点数 - 最小点覆盖数

即 ：最大团 = X集点数+Y集点数 - 最大匹配数