数据结构(16)--图的存储及实现
参考书籍：数据结构（C语言版）严蔚敏吴伟民编著清华大学出版社
图状结构是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在树状结构中，结点间具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上一层中的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图状结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。
1.邻接矩阵
1.1结构定义
图和树一样，没有顺序映像的存储结构，但可以借助数组的数据类型表示元素之间的关系。所以邻接矩阵是用于描述图中顶点之间关系(即弧或边的权)的矩阵。 假设图中顶点数为n，则邻接矩阵An×n：
1 若Vi和Vj之间有弧或边
A[i][j]=
0 反之
网的邻接矩阵An×n：
w （权值） 若Vi和Vj之间有弧或边
A[i][j]=
无穷大 反之
注意：
1) 图中无邻接到自身的弧，因此邻接矩阵主对角线为全零。
2) 无向图的邻接矩阵必然是对称矩阵。
3) 无向图中，顶点的度是邻接矩阵对应行（或列）的非零元素之和；有向图中，对应行的非零元素之和是该顶点的出度；对应列的非零元素之和是该顶点的入度；则该顶点的度是对应行和对应列的非零元素之和。
1.2示例
以有向网示例：
1.3代码实现
#include<stdio.h>
//#include<stdlib.h>
/*
图的表示方法
DG（有向图）或者DN（有向网）：邻接矩阵、邻接表（逆邻接表--为求入度）、十字链表
UDG（无向图）或者UDN（无向网）：邻接矩阵、邻接表、邻接多重表
*/
//1.数组表示法（邻接矩阵）：将以有向网为例
#define INFINITY 32767//最大值：假定为无穷大
#define MAX_VERTEX_NUM 10//最大顶点数目
//typedef enum GraphKind {DG, DN, UDG, UDN}; //有向图：0，有向网：1，无向图：2，无向网：3
typedef int VRType;//顶点关系类型，对于无权图或网，用0或1表示相邻否；对于带权图或网，则为相应权值
typedef int VertexType;//顶点类型
typedef VRType AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{
VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
AdjMatrix arcs;//邻接矩阵
int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和弧数
//GraphKind kind;//图的种类标志
}MGraph;//邻接矩阵表示的图
//若图G中存在顶点v，则返回v在图中的位置信息，否则返回其他信息
int locateVex(MGraph G, VertexType v){
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
if(G.vexs[i] == v)
return i;
}
return -1;//图中没有该顶点
}
//采用邻接矩阵表示法构造有向网G
void createDN(MGraph &G){
printf("输入顶点数和弧数如:(5,3):");
scanf("%d,%d", &G.vexnum, &G.arcnum);
//构造顶点向量
printf("输入%d个顶点（以空格隔开如：v1 v2 v3）:", G.vexnum);
getchar();//吃掉换行符
for(int m = 0; m < G.vexnum; m++){
scanf("v%d", &G.vexs[m]);
getchar();//吃掉空格符
}
//初始化邻接矩阵
int i=0, j=0;
for(i = 0; i < G.vexnum; i++){
for(j = 0; j < G.vexnum; j++)
G.arcs[i][j] = INFINITY;
}
//构造邻接矩阵
VertexType v1, v2;//分别是一条弧的弧尾和弧头（起点和终点）
VRType w;//对于无权图或网，用0或1表示相邻否；对于带权图或网，则为相应权值
printf("\n每行输入一条弧依附的顶点（先弧尾后弧头）和权值（如：v1 v2 3）:\n");
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++){
scanf("v%d v%d %d",&v1, &v2, &w);
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
i = locateVex(G, v1);
j = locateVex(G, v2);
G.arcs[i][j] = w;
}
}
//打印邻接矩阵
void printDN(MGraph G){
printf("\n打印有向网G的邻接矩阵：\n");
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
for(int j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
if(G.arcs[i][j] != INFINITY)
printf("%9d ", G.arcs[i][j]);
else
printf("INFINITY ");
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
1.4演示
/*测试：
6,10
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1,v2,5
v1,v4,7
v2,v3,4
v3,v1,8
v3,v6,9
v4,v3,5
v4,v6,6
v5,v4,5
v6,v1,3
v6,v5,1
*/
void main(){
MGraph G;
createDN(G);
printDN(G);
}
2.邻接表
2.1结构定义
类似树的孩子链表。即对图中的每个顶点vi建立一个单链表，表中结点表示依附于该顶点vi的边或弧。
弧结点 顶点结点（弧链表表头结点）
注意：
在无向图的邻接表中，
1）第i个链表中结点数目为顶点i的度；
2）所有链表中结点数目的一半为图中边数；
3）占用的存储单元数目为n+2e。
在有向图的邻接表中，
1）第i个链表中结点数目为顶点i的出度；
2）所有链表中结点数目为图中弧数；
3）占用的存储单元数目为n+e。
为求出每一个顶点的入度，必须另外建立有向图的逆邻接表。有向图的逆邻接表与邻接表类似，只是它是从入度考虑结点，而不是从出度考虑结点。
2.2示例
以无向网示例：
2.3代码实现
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*
图的表示方法
DG（有向图）或者DN（有向网）：邻接矩阵、邻接表（逆邻接表--为求入度）、十字链表
UDG（无向图）或者UDN（无向网）：邻接矩阵、邻接表、邻接多重表
*/
#define MAX_VERTEX_NUM 10//最大顶点数目
#define NULL 0
typedef int VRType;//对于带权图或网，则为相应权值
typedef int VertexType;//顶点类型
//typedef enum GraphKind {DG, DN, UDG, UDN}; //有向图：0，有向网：1，无向图：2，无向
typedef struct ArcNode{
int adjvex;//该弧所指向的顶点的在图中位置
VRType w;//弧的相应权值
struct ArcNode *nextarc;//指向下一条弧的指针
}ArcNode;//弧结点信息
typedef struct VNode{
VertexType data;//顶点信息
ArcNode *firstarc;//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode, AdjVexList[MAX_VERTEX_NUM];//顶点结点信息
typedef struct{
AdjVexList vexs;//顶点向量
int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和弧数
//GraphKind kind;//图的种类标志
}ALGraph;//邻接表表示的图
//若图G中存在顶点v，则返回v在图中的位置信息，否则返回其他信息
int locateVex(ALGraph G, VertexType v){
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
if(G.vexs[i].data == v)
return i;
}
return -1;//图中没有该顶点
}
//采用邻接表表示法构造无向网G
void createUDN(ALGraph &G){
printf("输入顶点数和弧数如:(5,3):");
scanf("%d,%d", &G.vexnum, &G.arcnum);
//构造顶点向量,并初始化
printf("输入%d个顶点（以空格隔开如：v1 v2 v3）:", G.vexnum);
getchar();//吃掉换行符
for(int m = 0; m < G.vexnum; m++){
scanf("v%d", &G.vexs[m].data);
G.vexs[m].firstarc = NULL;//初始化为空指针////////////////重要！！！
getchar();//吃掉空格符
}
//构造邻接表
VertexType v1, v2;//分别是一条弧的弧尾和弧头（起点和终点）
VRType w;//对于无权图或网，用0或1表示相邻否；对于带权图或网，则为相应权值
printf("\n每行输入一条弧依附的顶点（先弧尾后弧头）和权值（如：v1 v2 3）:\n");
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
int i = 0, j = 0;
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++){
scanf("v%d v%d %d",&v1, &v2, &w);
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
i = locateVex(G, v1);//弧起点
j = locateVex(G, v2);//弧终点
//采用“头插法”在各个顶点的弧链头部插入弧结点
ArcNode *p1 = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));//构造一个弧结点，作为弧vivj的弧头（终点）
p1->adjvex = j;
p1->w = w;
p1->nextarc = G.vexs[i].firstarc;
G.vexs[i].firstarc = p1;
ArcNode *p2 = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));//构造一个弧结点，作为弧vivj的弧尾（起点）
p2->adjvex = i;
p2->w = w;
p2->nextarc = G.vexs[j].firstarc;
G.vexs[j].firstarc = p2;
}
}
//打印邻接表
void printAdjList(ALGraph G){
printf("\n");
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
printf("依附顶点v%d的弧为：", G.vexs[i].data);
ArcNode *p = G.vexs[i].firstarc;
while(p){
printf("v%dv%d(weight:%d) ", G.vexs[i].data, G.vexs[p->adjvex].data, p->w);
p = p->nextarc;
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
2.4演示
/*测试：
4,4
v1 v2 v3 v4
v1 v2 3
v1 v3 6
v1 v4 4
v2 v4 9
*/
void main(){
ALGraph G;
createUDN(G);
printAdjList(G);
}
3.邻接多重表
3.1结构定义
在无向图的邻接表中，每条边（Vi，Vj）由两个结点表示，一个结点在第 i 个链表中，另一个结点在第 j 个链表中，当需要对边进行操作时，就需找到表示同一条边的两个结点，这给操作带来不便，在这种情况下采用邻接多重表较方便。
邻接多重表中结点分为：边结点和顶点结点 ：
弧结点 顶点结点（弧链表表头结点）
3.2示例
以无向图示例：
3.3代码实现
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*
图的表示方法
DG（有向图）或者DN（有向网）：邻接矩阵、邻接表（逆邻接表--为求入度）、十字链表
UDG（无向图）或者UDN（无向网）：邻接矩阵、邻接表、邻接多重表
*/
#define MAX_VERTEX_NUM 10//最大顶点数目
#define NULL 0
//typedef int VRType;//对于带权图或网，则为相应权值
typedef int VertexType;//顶点类型
//typedef enum GraphKind {DG, DN, UDG, UDN}; //有向图：0，有向网：1，无向图：2，无向
typedef struct ArcNode{
int ivex, jvex;//该边所依附的2个顶点的在图中位置
struct ArcNode *ivexNextarc, *jvexNextarc;//分别指向该边所依附的两个顶点下一条边
}ArcNode;//弧结点信息
typedef struct VNode{
VertexType data;//顶点信息
ArcNode *firstedge;//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode, AdjMuitiVexList[MAX_VERTEX_NUM];//顶点结点信息
typedef struct{
AdjMuitiVexList vexs;//顶点向量
int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和弧数
//GraphKind kind;//图的种类标志
}AMLGraph;//邻接表表示的图
//若图G中存在顶点v，则返回v在图中的位置信息，否则返回其他信息
int locateVex(AMLGraph G, VertexType v){
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
if(G.vexs[i].data == v)
return i;
}
return -1;//图中没有该顶点
}
//采用邻接多重表表示法构造无向图G
void createUDG(AMLGraph &G){
printf("输入顶点数和弧数如:(5,3):");
scanf("%d,%d", &G.vexnum, &G.arcnum);
//构造顶点向量,并初始化
printf("输入%d个顶点（以空格隔开如：v1 v2 v3）:", G.vexnum);
getchar();//吃掉换行符
for(int m = 0; m < G.vexnum; m++){
scanf("v%d", &G.vexs[m].data);
G.vexs[m].firstedge = NULL;//初始化为空指针////////////////重要！！！
getchar();//吃掉空格符
}
//构造邻接多重表
VertexType v1, v2;//分别是一条的两个顶点
printf("\n每行输入一条边依附的顶点（如：v1v2）:\n");
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
int i = 0, j = 0;
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++){
scanf("v%dv%d",&v1, &v2);
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
i = locateVex(G, v1);//边依附的两个顶点的在图中的位置
j = locateVex(G, v2);
//采用“头插法”在各个顶点的边链头部插入边结点
ArcNode *p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));//构造一个边结点，它依附于vivj两个顶点
p->ivex = i;
p->ivexNextarc = G.vexs[i].firstedge;
G.vexs[i].firstedge = p;
p->jvex = j;
p->jvexNextarc = G.vexs[j].firstedge;
G.vexs[j].firstedge = p;
}
}
//打印邻接多重表
void printAdjMultiList(AMLGraph G){
printf("\n");
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
printf("依附顶点v%d的边为：", G.vexs[i].data);
ArcNode *p = G.vexs[i].firstedge;
while(p){
if(p->ivex == i){
printf("v%dv%d ", G.vexs[i].data, G.vexs[p->jvex].data);
p = p->ivexNextarc;
}else if(p->jvex == i){
printf("v%dv%d ", G.vexs[i].data, G.vexs[p->ivex].data);
p = p->jvexNextarc;
}
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
3.4演示
/*
测试：
4,3
v1 v2 v3 v4
v1v2
v1v3
v2v4
*/
void main(){
AMLGraph G;
createUDG(G);
printAdjMultiList(G);
}
4.十字链表
4.1结构定义
十字链表是有向图的另一种链式存储结构。可以理解成有向图的邻接表和逆邻接表的结合，在十字链表中，有两种结点结构：
弧结点 顶点结点（弧链表表头结点）
4.2示例
以有向图示例：
4.3代码实现
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*
图的表示方法
DG（有向图）或者DN（有向网）：邻接矩阵、邻接表（逆邻接表--为求入度）、十字链表
UDG（无向图）或者UDN（无向网）：邻接矩阵、邻接表、邻接多重表
*/
#define MAX_VERTEX_NUM 10//最大顶点数目
#define NULL 0
//typedef int VRType;//对于带权图或网，则为相应权值
typedef int VertexType;//顶点类型
//typedef enum GraphKind {DG, DN, UDG, UDN}; //有向图：0，有向网：1，无向图：2，无向
typedef struct ArcNode{
int tailvex, headvex;//该弧的弧尾（起点）和弧头（终点）所指向的顶点的在图中位置
struct ArcNode *tailNextarc, *headNextArc;//分别为指向弧尾（起点）相同的弧的下一条弧的指针、弧头（终点）相同的弧的下一条弧的指针
}ArcNode;//弧结点信息
typedef struct VNode{
VertexType data;//顶点信息
ArcNode *firstIn;//指向第一条以该顶点为弧尾（起点）的指针
ArcNode *firstOut;//指向第一条以该顶点的弧头（终点）的指针
}VNode, VexList[MAX_VERTEX_NUM];//顶点结点信息
typedef struct{
VexList vexs;//顶点向量
int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和弧数
//GraphKind kind;//图的种类标志
}OLGraph;//邻接表表示的图
//若图G中存在顶点v，则返回v在图中的位置信息，否则返回其他信息
int locateVex(OLGraph G, VertexType v){
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
if(G.vexs[i].data == v)
return i;
}
return -1;//图中没有该顶点
}
//采用十字链表表示法构造有向图G
void createDG(OLGraph &G){
printf("输入顶点数和弧数如:(5,3):");
scanf("%d,%d", &G.vexnum, &G.arcnum);
//构造顶点向量,并初始化
printf("输入%d个顶点（以空格隔开如：v1 v2 v3）:", G.vexnum);
getchar();//吃掉换行符
for(int m = 0; m < G.vexnum; m++){
scanf("v%d", &G.vexs[m].data);
G.vexs[m].firstIn = NULL;//初始化为空指针////////////////重要！！！
G.vexs[m].firstOut = NULL;
getchar();//吃掉空格符
}
//构造十字链表
VertexType v1, v2;//分别是一条弧的弧尾和弧头（起点和终点）
printf("\n每行输入一条弧依附的顶点（先弧尾后弧头）（如：v1v2）:\n");
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
int i = 0, j = 0;
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++){
scanf("v%dv%d",&v1, &v2);
fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
i = locateVex(G, v1);//弧起点
j = locateVex(G, v2);//弧终点
//采用“头插法”在各个顶点的弧链头部插入弧结点
ArcNode *p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));//构造一个弧结点，作为弧vivj的弧头（终点）
p->tailvex = i;
p->tailNextarc = G.vexs[i].firstOut;
G.vexs[i].firstOut = p;
p->headvex = j;
p->headNextArc = G.vexs[j].firstIn;
G.vexs[j].firstIn = p;
}
}
//打印十字链表
void printOrthogonalList(OLGraph G){
printf("\n");
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
printf("以顶点v%d为弧尾的弧有为：", G.vexs[i].data);
ArcNode *p = G.vexs[i].firstOut;
while(p){
printf("v%dv%d ", G.vexs[i].data, G.vexs[p->headvex].data);
p = p->tailNextarc;
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
4.4演示
/*测试：
4,7
v1 v2 v3 v4
v1v2
v1v3
v3v1
v3v4
v4v1
v4v2
v4v3
*/
void main(){
OLGraph G;
createDG(G);
printOrthogonalList(G);
}