最大似然估计、MAP及贝叶斯估计

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以PLSA和LDA为代表的文本语言模型是当今统计自然语言处理研究的热点问题。这类语言模型一般都是对文本的生成过程提出自己的概率图模型，然后利用观察到的语料数据对模型参数做估计。有了语言模型和相应的模型参数，我们可以有很多重要的应用，比如文本特征降维、文本主题分析等等。本文主要介绍文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。

1、最大似然估计MLE

首先回顾一下贝叶斯公式

这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即

最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做

由于有连乘运算，通常对似然函数取对数计算简便，即对数似然函数。最大似然估计问题可以写成

这是一个关于的函数，求解这个优化问题通常对求导，得到导数为0的极值点。该函数取得最大值是对应的的取值就是我们估计的模型参数。

以扔硬币的伯努利实验为例子，N次实验的结果服从二项分布，参数为P，即每次实验事件发生的概率，不妨设为是得到正面的概率。为了估计P，采用最大似然估计，似然函数可以写作

其中表示实验结果为i的次数。下面求似然函数的极值点，有

得到参数p的最大似然估计值为

可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。

如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次

那么根据最大似然估计得到参数值p为12/20 = 0.6。

2、最大后验估计MAP

最大后验估计与最大似然估计相似，不同点在于估计的函数中允许加入一个先验，也就是说此时不是要求似然函数最大，而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大，即

注意这里P（X）与参数无关，因此等价于要使分子最大。与最大似然估计相比，现在需要多加上一个先验分布概率的对数。在实际应用中，这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。例如在扔硬币的试验中，每次抛出正面发生的概率应该服从一个概率分布，这个概率在0.5处取得最大值，这个分布就是先验分布。先验分布的参数我们称为超参数(hyperparameter)即

同样的道理，当上述后验概率取得最大值时，我们就得到根据MAP估计出的参数值。给定观测到的样本数据，一个新的值发生的概率是

下面我们仍然以扔硬币的例子来说明，我们期望先验概率分布在0.5处取得最大值，我们可以选用Beta分布即

其中Beta函数展开是

当x为正整数时

Beta分布的随机变量范围是[0,1],所以可以生成normalised probability values。下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数

我们取,这样先验分布在0.5处取得最大值，现在我们来求解MAP估计函数的极值点，同样对p求导数我们有

得到参数p的的最大后验估计值为

和最大似然估计的结果对比可以发现结果中多了这样的pseudo-counts,这就是先验在起作用。并且超参数越大，为了改变先验分布传递的belief所需要的观察值就越多，此时对应的Beta函数越聚集，紧缩在其最大值两侧。

如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次，那么

那么根据MAP估计出来的参数p为16/28 = 0.571,小于最大似然估计得到的值0.6，这也显示了“硬币一般是两面均匀的”这一先验对参数估计的影响。

3 贝叶斯估计

贝叶斯估计是在MAP上做进一步拓展，此时不直接估计参数的值，而是允许参数服从一定概率分布。回顾一下贝叶斯公式

现在不是要求后验概率最大，这样就需要求,即观察到的evidence的概率，由全概率公式展开可得

当新的数据被观察到时，后验概率可以自动随之调整。但是通常这个全概率的求法是贝叶斯估计比较有技巧性的地方。

那么如何用贝叶斯估计来做预测呢？如果我们想求一个新值的概率，可以由

来计算。注意此时第二项因子在上的积分不再等于1，这就是和MLE及MAP很大的不同点。

我们仍然以扔硬币的伯努利实验为例来说明。和MAP中一样，我们假设先验分布为Beta分布，但是构造贝叶斯估计时，不是要求用后验最大时的参数来近似作为参数值，而是求满足Beta分布的参数p的期望，有

注意这里用到了公式

当T为二维的情形可以对Beta分布来应用；T为多维的情形可以对狄利克雷分布应用

根据结果可以知道，根据贝叶斯估计，参数p服从一个新的Beta分布。回忆一下，我们为p选取的先验分布是Beta分布，然后以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验概率仍然服从Beta分布，由此我们说二项分布和Beta分布是共轭分布。在概率语言模型中，通常选取共轭分布作为先验，可以带来计算上的方便性。最典型的就是LDA中每个文档中词的Topic分布服从Multinomial分布，其先验选取共轭分布即Dirichlet分布；每个Topic下词的分布服从Multinomial分布，其先验也同样选取共轭分布即Dirichlet分布。

根据Beta分布的期望和方差计算公式，我们有

可以看出此时估计的p的期望和MLE ，MAP中得到的估计值都不同，此时如果仍然是做20次实验，12次正面，8次反面，那么我们根据贝叶斯估计得到的p满足参数为12+5和8+5的Beta分布，其均值和方差分别是17/30=0.567, 17*13/(31*30^2)=0.0079。可以看到此时求出的p的期望比MLE和MAP得到的估计值都小，更加接近0.5。

综上所述我们可以可视化MLE,MAP和贝叶斯估计对参数的估计结果如下

个人理解是，从MLE到MAP再到贝叶斯估计，对参数的表示越来越精确，得到的参数估计结果也越来越接近0.5这个先验概率，越来越能够反映基于样本的真实参数情况。

参考文献

Gregor Heinrich, Parameter estimation for test analysis, technical report 

Wikipedia Beta分布词条 ,  http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution