R语言中的线性判别分析
在R语言中，线性判别分析（Liner Discriminant Analysis，简称LDA），依靠软件包MASS中有线性判别函数lqa()来实现。该函数有三种调用格式：
1）当对象为数据框data.frame时
lda(x,grouping,prior = propotions,tol = 1.0e-4,method,CV = FALSE,nu,...)
2) 当对象为公式Formula时
lda(formula,data,...,subnet,na.action)
3) 当对象为矩阵Matrix时
lda(x,group,...,subnet,na.action)
对于第一种情况，grouping表示每个观测样本的所属类别；
prior表示各类别的先验概率，默认取训练集中各样本的比例；
tol表示筛选变量，默认取0.0001
对于第二种情况，formula表示判别公式，比如，y~x1+x2+x3,或者y~x1*x1
data表示数据集
subnet表示样本
na.action表示处理缺失值的方法，默认为“如果样本中有缺失值，则lda()函数无法运行”；如果设置为na.omit，则表示“自动删除样本中的缺失值，然 后，进行计算”
对于第三种情况，x表示矩阵
data表示数据集
subnet表示样本
na.action表示处理缺失值的方法，默认为“如果样本中有缺失值，则lda()函数无法运行”；如果设置为na.omit，则表示“自动删除样本中的缺失值，然 后，进行计算”
下面，举一个例子，来说明线性判别分析。我们选用kknn软件包中的miete数据集进行算法演示。miete数据集记录了1994年慕尼黑的住房佣金标准中一些有趣变量，比如房子的面积、是否有浴室、是否有中央供暖、是否供应热水等等，这些因素都影响着佣金的高低。
1.数据概况
首先，简单了解一下，miete数据集。
> library(kknn) > data(miete) > head(miete)nm wfl bj bad0 zh ww0 badkach fenster kueche mvdauer bjkat wflkat
1 693.29 50 1971.5 0 1 0 0 0 0 2 4 1
2 736.60 70 1971.5 0 1 0 0 0 0 26 4 2
3 732.23 50 1971.5 0 1 0 0 0 0 1 4 1
4 1295.14 55 1893.0 0 1 0 0 0 0 0 1 2
5 394.97 46 1957.0 0 0 1 0 0 0 27 3 1
6 1285.64 94 1971.5 0 1 0 1 0 0 2 4 3
nmqm rooms nmkat adr wohn
1 13.865800 1 3 2 2
2 10.522857 3 3 2 2
3 14.644600 1 3 2 2
4 23.548000 3 5 2 2
5 8.586304 3 1 2 2
6 13.677021 4 5 2 2
> dim(miete)[1] 1082 17
我们看到，该数据集一共有1082条样本，和17个变量。下面，我们利用summary（）来查看变量的信息。
> summary(miete)nm wfl bj bad0 zh ww0 Min. : 127.1 Min. : 20.00 Min. :1800 0:1051 0:202 0:1022
1st Qu.: 543.6 1st Qu.: 50.25 1st Qu.:1934 1: 31 1:880 1: 60
Median : 746.0 Median : 67.00 Median :1957
Mean : 830.3 Mean : 69.13 Mean :1947
3rd Qu.:1030.0 3rd Qu.: 84.00 3rd Qu.:1972
Max. :3130.0 Max. :250.00 Max. :1992
badkach fenster kueche mvdauer bjkat wflkat nmqm
0:446 0:1024 0:980 Min. : 0.00 1:218 1:271 Min. : 1.573
1:636 1: 58 1:102 1st Qu.: 2.00 2:154 2:513 1st Qu.: 8.864
Median : 6.00 3:341 3:298 Median :12.041
Mean :10.63 4:226 Mean :12.647
3rd Qu.:17.00 5: 79 3rd Qu.:16.135
Max. :82.00 6: 64 Max. :35.245
rooms nmkat adr wohn
Min. :1.000 1:219 1: 25 1: 90
1st Qu.:2.000 2:230 2:1035 2:673
Median :3.000 3:210 3: 22 3:319
Mean :2.635 4:208
3rd Qu.:3.000 5:215
Max. :9.000
我们可以选择nmkat(净租金)作为 待判别变量---一是，由于该变量在含义上容易受其他变量影响，为被解释变量；二是，nmkat自身就有5个等级类别，其相应的样本量依次为 219、230、210、208、215，即每一类的样本量都为200个左右，分布比较均匀。
2.数据预处理
下面，我们将miete数据集，分为训练集和测试集。
为了提高判别效果，我们考虑采用分层抽样的方式，由于miete数据集中，待判别变量nmkat的5个等级分布比较均匀，因此采用5个等级按等量抽取样本。（如果分布不均匀，则采用按比例抽取样本）。具体如下：
> library(sampling) > n = round(2/3*nrow(miete)/5) > n[1] 144
可以看到，训练集占总样本的2/3，测试集占总样本的1/3，从训练集中nmkat变量的每一个等级抽取的样本数是144个。
> #以nmkat变量的5个等级划分层次，进行分层抽样 > sub_train = strata(miete,stratanames = "nmkat",size=rep(n,5),method="srswor") > head(sub_train)
#显示训练集抽取的情况，包括nmkat变量取值、该样本在数据集中的序号、被抽取的概率、以及被抽取的层次。 nmkat ID_unit Prob Stratum
1 3 1 0.6857143 1
2 3 2 0.6857143 1
3 3 3 0.6857143 1
16 3 16 0.6857143 1
20 3 20 0.6857143 1
22 3 22 0.6857143 1
>
> #获取如上ID_unit所对应的样本构成训练集，并删除变量1、3、12 > data_train = getdata(miete[,c(-1,-3,-12)],sub_train$ID_unit) > data_test = getdata(miete[,c(-1,-3,-12)],-sub_train$ID_unit) > dim(data_train); dim(data_test) #分别显示训练集、测试集的维度[1] 720 14
[1] 362 14
> head(data_test)wfl bad0 zh ww0 badkach fenster kueche mvdauer bjkat nmqm rooms nmkat
7 28 0 1 0 0 1 1 9 4 17.011071 1 1
8 36 0 1 0 0 0 1 3 4 19.710278 1 3
9 33 0 1 0 0 0 0 1 4 25.840606 1 4
10 57 0 1 0 1 0 1 9 6 11.534035 2 2
11 75 0 1 0 1 0 1 3 6 16.504533 3 5
17 79 0 1 0 0 0 0 20 4 7.507215 3 2
adr wohn
7 2 2
8 2 2
9 2 2
10 2 2
11 2 2
17 2 2
至此，数据理解和数据预处理过程结束，得到可以直接使用的训练集data_train和测试集data_test。
3.线性判别
这里使用公式formula格式，进行判别。首先要加载软件包MASS,接着使用nmkat作为待判别变量，其他变量作为特征变量，根据公式nmkat~. （如果变量为y，则公式为y~. ） ，使用训练集data_train来运行 lda()函数。
> library(MASS) > fit_lda1 = lda(nmkat~., data_train) #以公式格式进行线性判别 > names(fit_lda1) > fit_lda1$prior1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
我们可以看到，各类别的先验概率在5个等级中都为0.2，之和为1，即它们都相等，这与它们分别均匀对应。
> fit_lda1$meanswfl bad01 zh1 ww01 badkach1 fenster1 kueche1
1 54.87500 0.055555556 0.6041667 0.138888889 0.3888889 0.06944444 0.04166667
2 60.59722 0.013888889 0.8125000 0.027777778 0.5486111 0.08333333 0.04166667
3 66.76389 0.013888889 0.8194444 0.041666667 0.5208333 0.06944444 0.07638889
4 74.70833 0.013888889 0.8750000 0.041666667 0.6458333 0.03472222 0.07638889
5 90.10417 0.006944444 0.9375000 0.006944444 0.7708333 0.04166667 0.20833333
mvdauer bjkat.L bjkat.Q bjkat.C bjkat^4 bjkat^5
1 14.444444 -0.21580517 -0.104562739 0.031056500 0.17323372 -0.17585847
2 11.923611 -0.12450298 -0.211398581 -0.002588042 0.20604313 -0.12642562
3 11.847222 -0.12782306 -0.145478593 0.049690399 0.16273470 -0.07349309
4 10.347222 -0.08964215 -0.127293769 -0.035197366 0.12861291 0.01137393
5 5.333333 -0.04482107 -0.009092412 0.018633900 0.02624753 -0.01574852
nmqm rooms adr.L adr.Q wohn.L wohn.Q
1 8.231574 2.173611 -0.019641855 -0.7654655 0.03437325 -0.3997431
2 10.988627 2.416667 -0.034373246 -0.7569604 0.08838835 -0.4252586
3 12.495436 2.597222 -0.019641855 -0.7654655 0.11294067 -0.3487121
4 14.107342 2.861111 0.004910464 -0.7909811 0.16695577 -0.3912379
5 17.108865 3.250000 0.019641855 -0.7484552 0.27498597 -0.2041241
从上面的结果中，可以看到一些很能反映现实情况的数据特征。比如，住房面积wfl变量，它明显随着租金nmkat的升高而逐步提高。这与我们的常识“房子的面积越大，租金就越贵”是十分吻合的。