hdu 3466 Proud Merchants (排序的dp)
hdu 3466 Proud Merchants
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The merchants were the most typical, each of them only sold exactly one item, the price was Pi, but they would refuse to make a trade with you if your money were less than Qi, and iSea evaluated every item a value Vi.
If he had M units of money, what’s the maximum value iSea could get?
Each test case begin with two integers N, M (1 ≤ N ≤ 500, 1 ≤ M ≤ 5000), indicating the items’ number and the initial money.
Then N lines follow, each line contains three numbers Pi, Qi and Vi (1 ≤ Pi ≤ Qi ≤ 100, 1 ≤ Vi ≤ 1000), their meaning is in the description.
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2 10 10 15 10 5 10 5 3 10 5 10 5 3 5 6 2 7 3
5 11
这道题目大意是，有n件商品，每件商品的价格是pi，每件商品只有在你的钱大于等于qi时才可以买入，每件商品在你心目中都有价值vi。现在你有m元钱，如何实现使买到的商品价值最大。下面我举题目中给出的例子进行分析，逐个击破。
3 10 ----分别是商品件数和Money 5 10 5 ----A商品的价格，最低入手价，价值 3 5 6 ----B商品 2 7 3 ----C商品
答案是11。正确的解法是先买A，再买B。这样就可以买到的价值是11，5+6=11。你会发现其实这个买的顺序有关系，因为你不可以先买B再买A，这样就错了。但是如果qi和pi是相同的，那么就跟顺序没关系了。所以，我们先假设qi=pi，先把这个简单的问题解决。题目如下，其实就是把q省去了。
3 10 5 5 ----A商品 3 6 ----B商品 2 3 ----C商品
这时，很多人想着把所有的情况都罗列出来，再一一比较，这是最容易想到，也是最耗时的方法，我们必须得优化。那么，有一种思路是这样的，对每件商品而言，你要么买，要么不买，这里必须得引入一个式子来说明问题。
f(n，m)：花m元买n样东西实现的最大价值。对于任意的f(n，m)，都有下面这两种情况：
情况一，你买了第n件商品，f(n, m)=f(n-1, m-pn)+vn，因为买了第n件商品，所以花费了pn元，也因此得到了vn的价值。f(n, m)就等于第n件商品的价值+用m-pn的钱去买n-1件商品的价值。这样问题就规模就变小了。
情况二，你不买第n件商品，f(n, m)=f(n-1, m)，也就是说f(n, m)等于你用m元钱去买n-1件商品实现的最大价值。
这两种情况，哪个价值大，就取哪一种，所以f(n, m) = max(f(n-1, m-pn)+vn, f(n-1, m))。这便是这第一步的核心。
根据这个式子，解题的表格设计如下
f(n,m)中n表示商品的件数，m表示钱，而f(0,3)表示没有商品，你有3块钱的情况下，你可以买到的价值，那当然是0咯；在举个例子f(2,6)，表示有2件商品，你有6块钱，那你比较来判断你要不要买第二件商品，如果你买了第二件商品，那么就是f(1, 6-3)+6=0+6=6；如果你不买第二件商品，那么就是f(1,6)=5。两种情况取大的，所以，你取6。其实，以上表格就是根据f(n, m) = max(f(n-1, m-pn)+vn, f(n-1, m))来得到的，多设计几组数据练几下就融会贯通了。这样第一步就算完成了，其实这就是0/1背包。
接下来针对有q的情况，这无疑是跟购买的顺序有关。我们不妨把大顺序确定下来。也就是说，比方说A、B、C三样商品，我们不管他买不买，我们只要确定下来如果他买，那肯定先买A再买C，那接下来是不是就不需要考虑顺序，只需要使用以上的0/1背包算法直接来。这就是我们的思路，先把顺序给考虑了，在套用以上0/1背包算法。我们还是举上面这个例子，我们稍微改一下，得到
3 10 5 5 5 ----A商品 3 3 6 ----B商品 2 3 3 ----C商品
其实，就是让C商品的q不等于p，其他都相同，这时，你就会发现如果要买C商品的话，肯定得先买C商品，因为买C商品的代价最大。所以，我们可以按照qi-pi的顺序来确定大顺序。这里我们还可以用更严谨的方式来证明一下，比如A:p1 q1, B:p2 q2，然后，假设单独买A或者B的话，都是可以买到的。这时，若先买A，则你至少需要p1+q2的钱；若先买B，则至少需要p2+q1的钱。那肯定是花最少的钱咯，所以如果先买A再买B，那么p1+q2<p2+q1，转换一下，就是q1-p1>q2-p2，也就是说qi-pi大的先买。这里还得注意一点就是，排序的时候，得按照qi-pi从小到大排序，因为你买第n件商品的时候，是在比较你是否要先买第n件商品。打个比方让大家更好地理解，比如说f(3, 10)，是不是max(f(2, 10-p3)+v3, f(2, 10))，你会发现这个第一种情况f(2,10-p3)+v3中，是先买了第三件商品，也就是说排在后面的商品会先买。好的，排好序之后，就把问题就转换为不需要考虑顺序的问题了，那就是上面我们已经解决0/1背包问题了。这样，问题圆满解决了。
附上代码：/*
HDU 3466
需要排序的01背包
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=550;
struct Node
{
int p,q,v;
}node[MAXN];
int dp[5500];
bool cmp(Node a,Node b)//按照 q-p 从小到大排序
{
return a.q-a.p < b.q-b.p;
}
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d%d%d",&node[i].p,&node[i].q,&node[i].v);
sort(node,node+n,cmp);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=m;j>=node[i].q;j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].p]+node[i].v);
printf("%d\n",dp[m]);
}
return 0;
}