斜率优化DPHDU-3507,HNOI2008玩具装箱,APIO特别行动队，USACO Land Acquisition

前言：

也是好久没有写题解了，最近主要学习了单调栈单调队列以及斜率优化DP这几个知识点，对于较难的斜率优化DP，做个小小的总结吧。

正(che)文(dan):

T1 hdu 3507

在一个风和日丽的早上，你打开了网页，点进了hdu，偶然间看到了这道题，不屑的以为这仅仅是一个很水的DP，2分钟给出DP方程式，很快的写完后发现n的范围居然是500000，这让已经推出来的 O(n2) 复杂度的递推式情何以堪，所以就产生了一种高逼格的优化方式：斜率优化。

这道题的方程式是什么呢？

dp[i]=min(dp[j]+sum[i]2−sum[j]2+M),j∈(0,i)

我们发现从1到n计算i的时候，每一次都是将 1∼i−1 的最优决策拿出来更新 i ，所以我们可不可以搞出来一种方式来维护这个最优解，使得在 i 递增的时候每次更新都能在 O(1) 的时间拿出来这个解呢。

我们先假设两个决策 k和j ,且 j>k 。

对于二者来说他们对应的值分别为:

dp[j]+(sum[i]−sum[j])2+M

dp[k]+(sum[i]−sum[k])2+M

如果这个时候 j这个决策是比k 优的，那么说明 j是完全可以取代k 的，因为 j是在k的后面出现 ，随着时间的递增，可以证明 k是不可能再比j优的 ，所以这个时候可以删掉 j ，但是反之就是不一定的，因为随着时间的递增 j有可能更优于k ，所以不可以删掉 k >

j优于k时

dp[j]+(sum[i]−sum[j])2+M<=dp[k]+(sum[i]−sum[k])2+M

则

dp[j]−dp[k]+sum[j]2−sum[k]22∗(sum[j]−sum[k])<=sum[i]

我们把

dp[j]−dp[k]+sum[j]2−sum[k]22∗(sum[j]−sum[k])

叫做 g[k,j]

那么就可以得到这个结论

对于决策k与j来说，k<j，如果g[k,j]<sum[i]，那么就是在i这个时间点时，j优于k。

所以到i时，在给dp[i]赋值之前，需要维护这个队列的队首，如果 g[q[head],q[head+1]]<=sum[i]

q[head+1]已经比q[head]更优了，所以head就可以删掉，这样我们每次从队头拿出来的值都是最优的值

然而队尾的处理就没有那么简单了，因为两个决策的时候不好考虑删不删，所以我们引入第三个决策 l且k<j<l

如果 g[k,j]>g[j,l]

1. g[j,l]>sum[i]

则说明 j比l优 ，此时我们并不能做什么，但是同时 g[k,j]>g[j,l]>sum[i]

所以又有 k比j 优，这个时候符合已经推导出来的删点法则，我们就可以把 j 这个决策删除了

2. g[j,l]<=sum[i]

则说明 l比j 优，根据删点法则，直接可以把 j 给删除，

那么从另一个角度说， g[k,j]>g[j,l] 的时候是删除掉j的。

所以我们维护的是 g[k,j]<=g[j,l] 的情况也就是一个下凸函数(传不上图…)

这样分别去维护队首以及队尾就可以搞定这道题。

T2 玩具装箱

维护的仍然是最小值。

这道题也是挺简单的，只是在推导过程中心细一点就可以了。

我在这道题上将 sum[i] 定义为 1∼i 的求和以及间隔数，以便推导时更加简洁。

最后推导出来的斜率式子是：

dp[j]−dp[k]+(sum[j]−sum[k])∗(sum[j]+sum[k]+2∗(L+1))2∗(sum[j]−sum[k])

其他的重复上一题的过程。

T3 特别行动队

这道题要求的是维护最大值，与之前两道题并不同，但本质上也没差多少。

最后推导出来的斜率式子是：

dp[j]−dp[k]+a∗(sum[j]∗sum[j]−sum[k]∗sum[k])+b∗(sum[k]−sum[j])2∗a∗(sum[j]−sum[k])

其他的重复上一题的过程。

T4 USACO 2008 Mar Gold 1.Land Acquisition

这道题与之前的有些不同的是，需要加上一点贪心的思想，也就是说我们按照宽度或者长度从大到小排序，如果相等的话，另一个因素按照从大到小排序，这样再重新扫一遍所有的土地，以便除掉被其他土地包含的土地。再进行DP就可以了。

最后推导出来的斜率式子是：

b[k+1].w−b[j+1].wdp[j]−dp[k]

其他的重复上一题的过程。

待续······