Yale开放课程博弈论7
这节课介绍伯川德竞争 (BertrandCompetition)，与上节课古诺竞争的例子类似，这里依然是两家公司生产同一产品，相互竞争市场使得自身利益最大化，但是不同的是每家公司的策略不是生产产品的产量，而是产品的定价p1和p2。市场对公司1产品的需求q1与两家公司的价格有关：
若p1<p2，则q1=1-p1(>0)；
若p1>p2，则q1=0；
若p1=p2，则q1=(1-p1)/2(>0)。
公司1的收益为q1*(p1-c)，其中c为边际成本。我们来看看对于公司2的任何定价，公司1的最佳应对策略各是什么。
1） 若p2<c，则公司1为了保全自己的利益，没有必要为了销量而再降低价格，即有p1>p2，此时其销量为0，收益为0。
2） 若c<p2≤pM，则公司1为了销量肯定需要降低价格，即p1=p2-eps。
3） 若pM<p2，则公司1定价应该为pM。
4） 若p2=c，则公司1的最佳应对策略为p1≥c。
根据对称性，公司2的收益以及对公司1的价格的最佳应对策略与上面类似。
伯川德竞争就是两个公司的价格大战，我们可以猜测最终的纳什均衡应该是两个公司都将价格定为边际成本c。首先我们来检验一下，若p1=c，则根据最佳对策p2≥c，若p2选择大于c，则根据1的最佳对策p1= p2-eps，若此时p1依然大于c，则根据2的最佳对策p2=p1-eps，如此循环下去，当两者都降低到c则双方都选择了最佳对策，达到纳什均衡。
结论：
1. 上面这个例子我们可以得到最终两家公司的定价为边际成本，收益均为0。即得到的结果与完全竞争非常相似。
2. 与卡诺竞争的设置基本相同，不同的是策略集，也就是说各个公司只是换了一个方式思考问题，结果却差异很大。
上面的例子最终博弈结果最大的赢家是消费者，这似乎与现实不符。我们可以对上面的例子进行简单的改进，可能会使得最终的博弈结果与实际更加相符合。
上面的例子中有一个很强的假设，即两家公司生产的产品是一样的。这里引入一个线性城市模型(Linear City Model) 来建模区分不同的产品。即有一条贯穿城市的笔直道路，公司1在一端，公司2在另一端，消费者所处的位置距离公司1为y，举例公司2为1-y。而消费者选择哪家公司的产品依据的是产品费用加交通费的总费用，总费用越低他越倾向于买那家的产品。这样，p1与p2的博弈变成了p1+ty^2与p2+t(1-y)^2，具体博弈结果留为作业。
接下来的所有时间将再次介绍Candidate Voter Model，与之前的不同的是：
1） 候选人数目不固定，是内在增长的；
2） 候选人不能选择政治立场，因为大家都清楚每个人的立场；
3） 每个选民都是潜在的候选人。
参与者：选民/候选人
策略：参加选举或者不参加（获得投票最多的候选人赢得选举）
收益：B（赢得选举）、-C（参选代价，B≥2C）、-|x-y|（自己立场为x，赢得选举的立场为y）
即若 Mr. x（这里指政治立场）参选并赢得选举，收益B-C；
若Mr. x参选，但y赢得选举，收益-C-|x-y|；
若Mr. x不参选，y赢得选举，收益-|x-y|；
他们在班上做了一个实验，首先随机选择了一排学生，令他们都是潜在的候选人，可以选择参选或者不参选。为了介绍这里不妨令这些人分别是1,2,3,…,17，其中1表示极端左翼，17表示极端右翼。这些人选择参选或者不参选，几次实验之后只有9参选。
此时是否为纳什均衡？9号左侧的任何人参选的话都不能赢得选举，且要多花费参选费用C，右侧也是一样，所以其他人的最佳对策是不参选。
是否还有其他的均衡呢？
如果有两排同学参与游戏呢？即上面17个代表政治立场的数字中，每个对应2个人考虑参选。如果两个9号都参选的话能达到均衡吗？显然不能，因为如果此时一个8号参选的话，她将得到所有左侧的选票，而两个9号则评分右侧的选票，8号将赢得选举。
下面还是回到一排的情况，如果9号不参选，8和10号同时参选能达到均衡吗？考虑三种情况1）7号会参选吗？若7号参选的话，10号将赢得选举，对7号来说还不如不参加选举；2）8号会参选吗？8号参选并不能赢得左右两侧的选票，还是会输掉，所以不参选才是最优对策；3）8或10会退出参选吗？8若退出则10赢得选举，收益为-2，若8参选，则虽然花费了参选费用C，但是有一半的可能赢得选举，即B/2-C>0，8不会退出，对10也一样。即此时达到一个均衡。
最后老师又留了一个问题，如果仅1和17参选的话，是否达到均衡？
这个很显然不是吧，这个时候9号的最佳对策肯定是参选了，因为他参选的话就会赢得选举。