Yale开放课程博弈论19
19. 招商引资和战略投资
上一讲我们讲了太多概念，今天主要讲三个案例。
案例一
把全班同学分成两组进行游戏，大部分同学的选择趋向于[U, l, u]。
逆向归纳法分析：参与者1有第二次选择的机会的话，会选择u，因为4（选择u）比3（选择d）好。对于参与者2，如果他选择r的话游戏结束，其收益为2，而他根据逆向归纳法他知道若自己选择l的话参与者1肯定会选择u，那时自己的收益是3，所以他会选择l。再接着逆推到参与者1的第一次选择，他会选择U，因为根据逆向归纳法他知道自己选择U之后参与者会选择l，自己会再选择u，收益为4，比直接选择D的收益2要高。
但是也有些同学作为参与者1在第一步就选择了D，这或许也有他的道理，因为他担心自己根据逆向归纳法推出选择U后，参与者2不按常理出牌选择r的话自己就损失比较大。即害怕参与者2把事情搞砸。
现在我们画出4*2的收益矩阵，来分析其中的纳什均衡。
l r
Uu 4,3 1,2
Ud 3,1 1,2
Du 2,1 2,1
Dd 2,1 2,1
3个纳什均衡 [Uu,l](BE)、 [Du, r] 和[Dd, r]。
哪个均衡满足子博弈均衡的要求？
首先看一个小的子博弈（图1中蓝色框框中的部分），只有参与者1的博弈，他可以选择u或者d，NE：[u]，在上面的三个纳什均衡中第三个[Dd, r]对应的该子博弈中的选择为d，不满足子博弈完美均衡（SPE）的定义，均衡3被排除。
接下来我们看看另一个子博弈（图1中红色框框中的部分），我们暂时不考虑混合策略，这里的pure NE: [u, l]和[d, r]，均衡2被排除，因为他在该子博弈中并不是纳什均衡的。
因此只有均衡1[Uu, l]满足要求，而且只有它满足逆向归纳法。
结论1：子博弈完美均衡与逆向归纳法的预测是一致的。
案例二：The matchmaker game
其中参与者1为Jack，可以选择是否撮合David和Nina，而David和Nina的选择可以是S和G任意一门课程。
从最后一个子博弈（蓝色框框中的部分）开始逆推，这个子博弈其实就是性别大战。pure NE: [G, G]和[S, S]，这两个均衡给参与者1带来的收益都是1。我们再回到整个博弈，可以看到参与者1会选择SEND。
其实，上面这个子博弈中还有一个混合策略均衡[(2/3,1/3), (1/3, 2/3)]，如果Jack成全David和Nina，那么他们碰面的概率是4/9，不会碰面的概率是5/9，也就是说Jack撮合这对的期望收益是1*4/9 -1*5/9 = -1/9，而他不撮合的话收益为0，因此这里第三个纳什均衡是[NOT, mix, mix]。
结论2：要求子博弈完美均衡，先求出每个子博弈的均衡，然后根据收益往回看。
案例三：经典的商学院案例，Strategic Investment
两家公司A和B，处于古诺竞争中，价格与需求曲线：2 - 1/3 * (qA+qB)，每吨的生产成本是1美元。
回顾一下古诺均衡的产量 Q* =(a-c)/3b，在这里a = 2, c = 1, b = 1/3, Q* = 1(百万吨)，p* = 4/3，均衡利润：(4/3 -1) * 1 = 1/3。
那么问题来了，现在有一台新机器，它有以下三个特性：（1）仅适用于A公司，（2）每年租金0.7百万美元，（3）可以把A的成本降低到0.5美元。
To rent or notto rent？
下面我们从三个角度来看看这个问题：
1. 会计师会怎么回答这个问题？
很简单的算术：根据上面的古诺均衡我们可以看到A公司每年产出1百万吨，每吨节省0.5美元，每年节省50万。而新机器的租用成本是70万，所以不该租用。
这个回答很boring，而且它是错误的。因为他假设租用了新机器后产量还是跟之前一样。
2. 经济学家如何看？
画出剩余需求曲线
我们从图中可以看出随着成本的降低，公司A的产量会增加，而会计师只计算了图中绿色矩形中的面积，其实还应该加上红色三角形的面积。0.5 + 0.19 = 0.69 < 0.7，结论仍然是not rent。
但是这个结果依然是错误的，因为B公司也可能改变他的产量。
3. Game theory answer
画出古诺竞争qA和qB的最佳对策曲线
公司A的最佳对策需要向右移动，当A公司增产时，B公司应该减产（strategysubstitute），A选择是否租用新机器，然后与B公司进行古诺竞争子博弈，如果你投资了会怎么样，然后从子博弈的收益回来再看是否租用。
博弈论者的答案是还可以增加31万的利润，0.31 +0.69 > 0.7 ，结论应该是租用。
结论3：我们应该考虑战略效应，即其他参与人也会改变行为。