【SCOI2006】【bzoj1263】整数划分

bzoj1263

• Description
  
  • 从文件中读入一个正整数n（10≤n≤31000）。要求将n写成若干个正整数之和，并且使这些正整数的乘积最大。 例如，n=13，则当n表示为4+3+3+3（或2+2+3+3+3）时，乘积=108为最大。
• Input
  
  • 只有一个正整数： n （10≤n≤31000）
• Output
  
  • 第1行输出一个整数，为最大乘积的位数。 第2行输出最大乘积的前100位，如果不足100位，则按实际位数输出最大乘积。 （提示：在给定的范围内，最大乘积的位数不超过5000位）。
• Sample Input
  
  • 13
• Sample Output
  
  • 3
    108

据说是贪心。
不过其实我想不到为何拆成2和3…自从我看题解知道拆成2和3最优后我才发现这样是最优的…………
以下证明抄自codevs1308题解：

首先把一个正整数n拆成若干正整数只有有限种拆法，所以存在最大乘积。
设已经得到一个最优解。
① 1肯定不会出现在其中。
② 对于拆成的其中一个数ni>=5,可将其拆成3+(ni-3),答案为3ni-9>ni。
③ 对于ni=4可将其看作ni=2+2，答案不变。
④ 三个以上的2,3*3>2*2*2，所以选3更优。
综上，最优策略为：选尽量多的3，剩下的用2来填。

所以说分三种情况。
n%3==0：全拆成3。
n%3==1 ：拆成(n/3-1)个3和2个2。
n%3==2 ：拆成(n/3)个3和1个2.。

哦对，codevs2803和codevs1308是同样的题，不过2803要特判一下，底下的代码我没打这个特判QAQ虽然还是蛮坑的

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int size=10010;
const int BASE=10;
const int WIDTH=1;
typedef long long LL;
struct bign{
    int len,num[size];
    bign(){memset(num,0,sizeof(num)); len=1;}
    bign(LL x)
    {
        memset(num,0,sizeof(num)); len=0;
        do
        {
            num[++len]=x%BASE;
            x/=BASE;
        }while(x);
    }
};

void scan(bign &ans)
{
    string in;
    cin>>in;
    int l=in.length();
    ans.len=(l-1)/WIDTH+1;
    for(int i=0;i<ans.len;i++)
    {
        int e=l-i*WIDTH;
        int s=max(0,e-WIDTH);
        sscanf(in.substr(s,e-s).c_str(),"%d",&ans.num[i+1]);
    }
}

void print(const bign &a)
{
    printf("%d\n",a.len);
    for(int i=a.len,tot=0;i>=1;i--,tot++)
    {
        if(tot==100) break;
        printf("%d",a.num[i]);
    }
}

bool operator <(const bign &a,const bign &b)
{
    if(a.len!=b.len) return a.len<b.len;
    for(int i=a.len;i>=1;i--)
        if(a.num[i]!=b.num[i]) return a.num[i]<b.num[i];
    return false;
}

bign operator +(const bign &a,const bign &b)
{
    bign ans;
    int x=0,i=1;
    while(i<=a.len||i<=b.len)
    {
        x+=a.num[i]+b.num[i];
        ans.num[i++]=x%BASE;
        x/=BASE;   
    }
    ans.num[i]=x;
    ans.len=i;
    while(ans.len>1&&ans.num[ans.len]==0) ans.len--;
    return ans;
}

bign operator -(const bign &a,const bign &b)
{
    bign ans;
    ans.len=a.len;
    int x=0;
    for(int i=1;i<=a.len;i++)
    {
        x=BASE+a.num[i]-b.num[i]+x;
        ans.num[i]=x%BASE;
        x=x/BASE-1;
    }
    while(ans.len>1&&ans.num[ans.len]==0) ans.len--;
    return ans;
}

bign operator *(const bign &a,const bign &b)
{
    bign ans;
    ans.len=a.len+b.len;
    for(int i=1;i<=a.len;i++)
    {
        LL x=0;
        for(int j=1;j<=b.len;j++)
        {
            x=(LL)a.num[i]*(LL)b.num[j]+x+ans.num[i+j-1];
            ans.num[i+j-1]=x%BASE;
            x/=BASE;
        }
        ans.num[i+b.len]=x;
    }
    while(ans.len>1&&ans.num[ans.len]==0) ans.len--;
    return ans;    
}


bool smaller(const bign &a,const bign &b,int d)
{
    if(a.len+d!=b.len) return a.len+d<b.len;
    for(int i=a.len;i>=1;i--)
        if(a.num[i]!=b.num[i+d]) return a.num[i]<b.num[i+d];
    return true;
}

void jian(bign &a,const bign &b,int d)
{
    int x=0;
    for(int i=1;i<=a.len-d;i++)
    {
        x=BASE+a.num[i+d]-b.num[i]+x;
        a.num[i+d]=x%BASE;
        x=x/BASE-1;
    }
    while(a.len>1&&a.num[a.len]==0) a.len--;
}

bign operator /(const bign &a,const bign &b)
{
    bign ans;
    bign mid[32],num=a;
    mid[0]=b;
    for(int i=1;i<=30;i++) mid[i]=mid[i-1]*2;
    for(int i=a.len-b.len;i>=0;i--)
    {
        LL temp=1<<30;
        for(int j=30;j>=0;j--)
        {
            if(smaller(mid[j],num,i))
            {
                jian(num,mid[j],i);
                ans.num[i+1]+=temp;
            }
            temp>>=1;
        }
    }
    while(ans.len>1&&ans.num[ans.len]==0) ans.len--;
    return ans;    
}

bign ksm(int aa,int b)
{
    bign ans=1,a=aa;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=a*ans;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n%3==0)
    {
        int t=n/3;
        print(ksm(3,t));
    }
    else if(n%3==1)
    {
        int t=n/3-1;
        print(ksm(3,t)*4);
    }
    else
    {
        int t=n/3;
        print(ksm(3,t)*2);     
    }
    return 0;
}