【笔记】Link-Cut-Tree

动态树问题。

维护一个森林，支持树上动态查询、修改、删边、加边、换根等等，但始终保持是一颗树。

我学的主要是路径查询和修改。貌似路径和子树不能兼顾…但有一个很厉害的数据结构叫Top Tree，能同时兼顾，听起来好厉害，资料也不多，并没有学…

好了，来说一下正题。

先想一下树链剖分，引入了轻重链剖分的思想，可以高效地做树上查询&&修改操作，但不能加边删边，也就是相当于一个“静态树”。

而动态树，也引入了把树剖成链的思想，但轻重链和树剖中定义不同。

定义操作access(u)，表示从u为起点，向当前树的根节点连一条重链，这条重链的端点分别为当前树的根节点和u。

对于每一条重链，我们用一棵Splay维护，关键字为重链上点的深度。

（这里插一句，如何做到“动态树”？可以把上面的操作做一个等价转换，映射到某些数据结构中（例如动态树问题就是把它转到splay里做），这样可能可以得到相同的效果。）

然后，对于操作access(u)，可以高效地利用splay做到。

access操作：

图片来自论文【QTREE解法的一些研究】

相当于把沿途的重链所组成的splay断开，接上N节点所拉的重链。

介绍完access操作，先来看一下换根（toroot(u)）操作。

若想让u成为当前树的根节点，则可以先access(u)，再splay(u)，把u转为当前splay的根节点。因为splay维护的是深度，所以u没有右儿子（没有比u还要深的点，因为重链定义），所以换根就相当于一次区间翻转，交换左右子树即完成区间翻转。此时就可以打标记了。

这样，toroot(u)操作的过程，就是先access(u)，再splay(u)，再翻转。

提取u到v的路径，可以先toroot(u)，再access(v)，此时v到根节点u所拉的重链即为所求路径，也就是整棵splay。

说了这么多重链，轻边呢？对于轻边我们需要单独记录处理。在原树上，当前重链的顶端节点与他的父亲的边即为轻边，如果不记录，树将是不完整的。

具体到代码实现，可以是当前splay的根节点的父亲即为当前splay上面的那个重链所在的splay上的点，但上面的splay的儿子并不指向当前splay的父亲，即为用splay的根节点的父亲来存储轻边。

像下图一样：

其中没画的指针皆指向null。

这样就把所有的splay串了起来，但因为Splay根节点的父亲指针不是null，所以有诸多细节需要注意。

这样，在u和v之间连边，可以toroot(u)，再让u的父亲为v，这就相当于v本身是一棵splay，而u和v之间连了条轻边。

断开u和v之间的边，可以先toroot(u)，再access(v)，再splay(v)，此时v的左儿子必定为u，于是断开v和v的左儿子即可。

路径操作可以用splay的下放标记来实现，和splay的基本操作一样。

但标记下放有一个问题。因为splay是时时刻刻在分裂与合并的，因为要动态维护每条重链，所以在splay之前，要先把根节点到当前节点全部下放一遍标记，防止标记下放不完全。

关于LCT，我就学了这些，对于代码上的细节还有算法的细节纠结了好久，也是好不容易搞懂了…欢迎神犇们打脸+补充……

参考资料：论文【QTREE解法的一些研究】
网上各种LCT题目的代码

特别感谢：

善良的学长小绿
以及不知道抄的谁的代码2333