[置顶] SPFA最短路
B-F
适用条件&范围
- 单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
- 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
- 边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
- 差分约束系统;
算法描述
- 对每条边进行|V|-1次Relax ( 就是松弛操作 )操作;
- 如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。
For i:=1 to |V|-1 do //v为顶点数 For 每条边(u,v)∈E do //对每条边进行遍历 Relax(u,v,w); For每条边(u,v)∈E do If dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)
时空复杂度
算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，仍不失为一个很实用的算法。
算法的改进---> SPFA 复杂度O(KE)，k ≈ 2
算法简介
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。也有人说SPFA本来就是Bellman-Ford算法，现在广为流传的Bellman-Ford算法实际上是山寨版。
算法流程
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛（见下文最后），若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法
SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：
设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。
维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数>=n，则有负权环。
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右
数组实现邻接表模板
#define N 100004
const int INF = (1<<30);
int n,m;//n是最后一个点的编号
struct edge{
int u,v,w;
int next;//同一起点的下一条边存储在edge数组中的位置（理解了这个静态邻接表就可以了）
}e[N*10];
int head[N];//以该点为起点的第一条边存储在e数组中的位置
int dis[N];//记录与源点距离
bool vis[N];//记录顶点是否在队列中，SPFA算法可以入队列多次
int cnt[N];//记录顶点入队列次数
int ecnt;
void init(){
ecnt = 0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u,int v,int w){
e[ecnt].u = u;
e[ecnt].v = v;
e[ecnt].w = w;
e[ecnt].next = head[u];
head[u] = ecnt++;//位置更新
}
bool SPFA(int s){//s是源点编号
queue<int> qq;
int i;
for(i=1;i<=n;++i){
dis[i] = INF; //将除源点以外的其余点的距离设置为无穷大
vis[i] = 0;
cnt[i] = 0;
}
dis[s]=0; //源点的距离为0
vis[s] = 1;
cnt[s]++; //源点的入队列次数增加
qq.push(s);
int u,v;
while(!qq.empty()){
u = qq.front();
qq.pop();
vis[u] = 0;
for(i=head[u];i!=-1;i = e[i].next){
v = e[i].v;
int cost = e[i].w;
if(dis[v] > cost+dis[u]){
dis[v] = cost+dis[u];
if(!vis[v]){
vis[v] = 1;
qq.push(v);
cnt[v]++;
if(cnt[v] >= n)return false;
}
}
}
}
return true;
}
vector实现邻接表模板
#define N 50001
const int INF = 0x7fffffff;
int n,m;
typedef struct edge
{
int to;
int w;
}edge,temp;
vector<edge> adjmap[N]; //vector实现邻接表
int d[N];
bool vis[N]; //记录顶点是否在队列中，SPFA算法可以入队列多次
int cnt[N]; //记录顶点入队列次数
void SPFA()
{
queue<int>
myqueue;
int i;
for(i=2;i<=n;++i)
d[i] = INF; //将除源点以外的其余点的距离设置为无穷大
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
d[1]=0; //源点的距离为0
vis[1] = true;
cnt[1]++; //源点的入队列次数增加
myqueue.push(1);
int topint;
while(!myqueue.empty())
{
topint = myqueue.front();
myqueue.pop();
vis[topint] = false;
for(i=0;i<adjmap[topint].size();++i)
{
int to = adjmap[topint][i].to;
if(d[topint]<INF && d[to]>d[topint]+ adjmap[topint][i].w)
{
d[to] = d[topint]+ adjmap[topint][i].w;
if(!vis[to])
{
vis[to] = true;
cnt[to]++;
if(cnt[to]>=n) //当一个点入队的次数>=n时就证明出现了负环。
return ;
myqueue.push(to);
}
}
}
} printf("%d/n",d[n]);
}
int main()
{
freopen("a.txt","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&m);
int i;
int s,e,w;
edge temp;
for(i=1;i<n+1;++i) //此处特别注意对邻接表清空
adjmap[i].clear();
for(i=0;i<m;++i) //双向
{
cin>>s>>e>>w;
temp.to = e;
temp.w = w;
adjmap[s].push_back(temp);
temp.to = s;
adjmap[e].push_back(temp);
}
SPFA();
return 0;
}
数组版
int map[N][N],dist[N],vis[N];
void SPFA(int s){
int i,j;
for(i=0;i<=n;i++){
dist[i] = maxsum;
vis[i] = 0;
}
queue<int> q;
dist[s]=0;
q.push(s);
vis[s]=1;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
for(i=1;i<=n;i++){
if(map[x][i] != INF && dist[x]+map[x][i]<dist[i]){
dist[i]=dist[x]+map[x][i];
if(!vis[i]){
vis[i]=1;
q.push(i);
}
}
}
}
}