Lucas定理and大组合数取余算法总结

首先给出这个Lucas定理：

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

这个定理的证明不是很简单，我一直想找个很好的张明，但是，没找到，昨天看到了一个解题报告，基本上可以说明白这个Lucas定理是怎么回事了，具体的是说：

以求解n! % p为例，把n分段，每p个一段，每一段求的结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p, 2p, ...，把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n / p)!，相当于划归成了一个子问题，这样递归求解即可。

这个是单独处理n!的情况，当然C(n,m)就是n!/(m!*(n-m)!)，每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了，注意这儿的p是素数是有必要的。

Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右，不能再大了，hdu 3037就是10^5级别的！

对于大组合数取模，n,m不大于10^5的话，用逆元的方法，可以解决。对于n,m大于10^5的话，那么要求p<10^5，这样就是Lucas定理了，将n,m转化到10^5以内解。

然后再大的数据，我就不会了！

贴一个例题的代码，方便以后看。

hdu 3037

将不大于m颗种子存放在n颗树中，问有多少种存法。

首先是不大于m颗种子，我没可以认为少于m的那些种子存放在了第n+1颗树上，这样的话，问题就转化成了将m颗种子存放在n+1颗树上的方案数。ok这个是组合数学里面的公式，亦即插板法，也就是X1+X2+X3+……+Xn+1 = m;ok，答案是C(n+m,m);

然后就是上面说的Lucas定理解决大组合数问题了

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;

#define N 100010

long long mod_pow(int a,int n,int p)
{
    long long ret=1;
    long long A=a;
    while(n)
    {
        if (n & 1)
            ret=(ret*A)%p;
        A=(A*A)%p;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

long long factorial[N];

void init(long long p)
{
    factorial[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= p;i++)
        factorial[i] = factorial[i-1]*i%p;
    //for(int i = 0;i < p;i++)
        //ni[i] = mod_pow(factorial[i],p-2,p);
}

long long Lucas(long long a,long long k,long long p) //求C(n,m)%p p最大为10^5。a,b可以很大！
{
    long long re = 1;
    while(a && k)
    {
        long long aa = a%p;long long bb = k%p;
        if(aa < bb) return 0; //这个是最后的改动！
        re = re*factorial[aa]*mod_pow(factorial[bb]*factorial[aa-bb]%p,p-2,p)%p;//这儿的求逆不可先处理
        a /= p;
        k /= p;
    }
    return re;
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        long long n,m,p;
        cin >> n >> m >> p;
        init(p);
        cout << Lucas(n+m,m,p) << "\n";
    }
    return 0;
}