矩阵奇异值简要介绍

奇异值分解是一个非常，非常，非常大的话题，它的英文是 Singular Value Decomposition，一般简称为 SVD。下面先给出它大概的意思：

对于任意一个  m×n  的矩阵  M ，不妨假设  m>n ，它可以被分解为

M=UDVT

其中

• U  是一个  m×n  的矩阵，满足  UTU=In ， In  是  n×n  的单位阵
• V  是一个  n×n  的矩阵，满足  VTV=In
• D  是一个  n×n  的对角矩阵，所有的元素都非负

先别急，我看到这个定义的时候和你一样晕，感觉信息量有点大。事实上，上面这短短的三条可以引发出 SVD 许多重要的性质，而我们今天要介绍的也只是其中的一部分而已。

前面的表达式  M=UDVT  可以用一种更容易理解的方式表达出来。如果我们把矩阵  U  用它的列向量表示出来，可以写成

U=(u1,u2,…,un)

其中每一个  ui  被称为  M  的左奇异向量。类似地，对于  V ，有

V=(v1,v2,…,vn)

它们被称为右奇异向量。再然后，假设矩阵  D  的对角线元素为  di  （它们被称为  M 的奇异值）并按降序排列，那么  M  就可以表达为

M=d1u1vT1+d2u2vT2+⋯+dnunvTn=∑i=1ndiuivTi=∑i=1nAi

其中  Ai=diuivTi  是一个  m×n  的矩阵。换句话说，我们把原来的矩阵  M  表达成了  n  个矩阵的和。

这个式子有什么用呢？注意到，我们假定  di  是按降序排列的，它在某种程度上反映了对应项  Ai  在  M  中的“贡献”。 di  越大，说明对应的  Ai  在  M  的分解中占据的比重也越大。所以一个很自然的想法是，我们是不是可以提取出  Ai  中那些对  M  贡献最大的项，把它们的和作为对  M  的近似？也就是说，如果令

Mk=∑i=1kAi

那么我们是否可以用  Mk  来对  Mn≡M  进行近似？

答案是肯定的，不过等一下，这个想法好像似曾相识？对了，多元统计分析中经典的主成分分析就是这样做的。在主成分分析中，我们把数据整体的变异分解成若干个主成分之和，然后保留方差最大的若干个主成分，而舍弃那些方差较小的。事实上，主成分分析就是对数据的协方差矩阵进行了类似的分解（特征值分解），但这种分解只适用于对称的矩阵，而 SVD 则是对任意大小和形状的矩阵都成立。（SVD 和特征值分解有着非常紧密的联系，此为后话）

我们再回顾一下，主成分分析有什么作用？答曰，降维。换言之，就是用几组低维的主成分来记录原始数据的大部分信息，这也可以认为是一种信息的（有损）压缩。在 SVD 中，我们也可以做类似的事情，也就是用更少项的求和  Mk  来近似完整的  n  项求和。为什么要这么做呢？我们用一个图像压缩的例子来说明我们的动机。

我们知道，电脑上的图像（特指位图）都是由像素点组成的，所以存储一张 1000×622 大小的图片，实际上就是存储一个 1000×622 的矩阵，共 622000 个元素。这个矩阵用 SVD 可以分解为 622 个矩阵之和，如果我们选取其中的前 100 个之和作为对图像数据的近似，那么只需要存储 100 个奇异值  di ，100 个  ui  向量和 100 个  vi  向量，共计 100×(1+1000+622)=162300个 元素，大约只有原始的 26% 大小