HALL定理

维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_marriage_theorem
Hall 结婚定理(Hall’s MarriageTheorem or Hall's theorem)由英国数学家Philip Hall提出(The graph theoretic formulation deals witha bipartite graph. It gives a necessary and sufficient condition for finding amatching that covers at least one side of the graph)

令V与W为两个分开的族群，V与W之间有连线，令V的任一个部份集合的元素个数为S，而其连线至 W 的对应的个数为R(S)。如果|S| ≤|R(S)|，則V的每一个元素都可在W 中找到一个专属于自己的对应。

 

Eg.现在有男生：路飞(a)、索隆(b)、香吉士(c)与4个女生：汉库克(r)、娜美(s)、薇薇(t)、罗宾(u) 。如果路飞喜欢汉库克与娜美，索隆喜欢娜美与妮可·罗宾，香吉士喜欢汉库克、薇薇与罗宾，那么是否每个男生都可以配到喜欢的女生？

(解)：

如果S ={a, b, c}，則R( S1) = { r, s, t, u}，于是|S| = 3<4 =|R(S1)|

如果S2 = {a, b}，则R( S2) = { r, s, u}，于是| S2| = 2<3= |R(S2)|

如果S3 = {a, c}，则R( S3) = { r, s, t, u}，于是| S3| = 2<4= |R(S3)|

如果S4 = {b, c}，则R( S4) = {r, s, t, u}，于是| S4| = 2<4= |R(S4)|

∴  每个男生都可以找到心爱的女生！

Eg.现在有男生：鸣人(a)、佐助(b)、小李(c)与4个女生雏田(r)、天天( s ) 、小樱( t ) 、如花( u) 。如果鸣人喜欢雏田与小樱，佐助只喜欢小樱，小李喜欢雏田与小樱，那么是否每个男生都可

以配到心爱的女人？ 

(解)：如果  S={a, b, c} ，则R(S) = {r, t}，于是|S| = 3>2 =|R(S)|

∴不能做到每个男生都找到心爱的女生！

Eg.鸣人娶雏田而佐助娶小樱，则小李就娶不到心爱的女生；如果小李娶雏田而佐助娶小樱，  则鸣人就娶不到心爱的女生。

 

本论还有一个重要推论：

二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X,Y, 若∣X∣=∣Y∣,且G中有一组无公共端点的边，一端恰好组成X中的点，一端恰好组成Y中的点，则称二部图G中存在完美匹配。若图G的每个点度数为t，则称二部图G为t---正则的二部图存在完美匹配。

本定理是二分图匹配问题中匈牙利算法的基础。

匈牙利算法请见：http://blog.csdn.net/doumiaoo_oo/article/details/46456317