Prim算法

最小生成树的Prim算法也是贪心算法的一大经典应用。Prim算法的特点是时刻维护一棵树，算法不断加边，加的过程始终是一棵树。

Prim算法过程：

一条边一条边地加， 维护一棵树。

初始 E ＝ ｛｝空集合， V = ｛任意节点｝

循环（n – 1）次，每次选择一条边（v1,v2）， 满足：v1属于V , v2不属于V。且（v1,v2）权值最小。

E = E + （v1,v2）
V = V + v2

最终E中的边是一棵最小生成树， V包含了全部节点。

以下图为例介绍Prim算法的执行过程。

Prim算法的过程从A开始 V = {A}, E = {}

选中边AF , V = {A, F}, E = {(A,F)} 

选中边FB, V = {A, F, B}, E = {(A,F), (F,B)}

选中边BD, V = {A, B, F, D},   E = {(A,F), (F,B), (B,D)}

选中边DE, V = {A, B, F, D, E},   E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E)}
 
选中边BC, V = {A, B, F, D, E, c},   E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E), (B,C)}, 算法结束。

Prim算法的证明：假设Prim算法得到一棵树P，有一棵最小生成树T。假设P和T不同，我们假设Prim算法进行到第(K – 1)步时选择的边都在T中，这时Prim算法的树是P’, 第K步时,Prim算法选择了一条边e = (u, v)不在T中。假设u在P’中，而v不在。

因为T是树，所以T中必然有一条u到v的路径，我们考虑这条路径上第一个点u在P’中，最后一个点v不在P’中，则路径上一定有一条边f = (x,y)，x在P’中，而且y不在P’中。
我们考虑f和e的边权w(f)与w(e)的关系：

若w(f) > w(e)，在T中用e换掉f （T中加上e去掉f)，得到一个权值和更小的生成树，与T是最小生成树矛盾。
若w(f) < w(e), Prim算法在第K步时应该考虑加边f，而不是e,矛盾。

因此只有w(f) = w(e),我们在T中用e换掉f，这样Prim算法在前K步选择的边在T中了，有限步之后把T变成P,而树权值和不变， 从而Prim算法是正确的。
请仔细理解Prim算法——时刻维护一棵生成树。我们的证明构造性地证明了所有地最小生成树地边权（多重）集合都相同！