机器学习笔记02：多元线性回归、梯度下降和Normal equation

在《机器学习笔记01》中已经讲了关于单变量的线性回归以及梯度下降法。今天这篇文章作为之前的扩展，讨论多变量（特征）的线性回归问题、多变量梯度下降、Normal equation（矩阵方程法），以及其中需要注意的问题。

单元线性回归

首先来回顾一下单变量线性回归的假设函数:

Size( feet2 )	Price( $ 1000)
2104	460
1416	232
1534	315
852	178
…	…

我们的假设函数为 hθ(x)=θ0+θ1x

多元线性回归

下面介绍多元线性回归(Linear Regression with Multiple features/variables)。同样以预测房价为例，假设我们对房价的预测涉及到4个因素：Size、Number of bedrooms、Number of floors、Age of house。假设我们的训练集如下：

Size( feet2 )	Number of bedrooms	Number of floors	Age of house(years)	Price( $ 1000)
2104	5	1	43	460
1416	3	2	40	232
1534	3	2	30	315
852	2	1	36	178
…	…	…	…	…

符号说明（Notation）：

符号	含义
n	number of features(特征的数量，上表中为4)
x(i)	input(features) of ith training example(第 i 组训练数据，比如 x2 表示上表中第二行)
xij	value of feature j in ith training example(第 i 组训练接的第 j 个特征值，比如 x32 表示上表中的第三行第二列的值2)
m	number of training examples(训练集样本的数量，比如上表为4)

1、假设函数(Hypothesis function)

既然是线性回归，我们的假设函数当然应该是一条直线：

hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+...+θnxn

或者

hθ(x)=θ0x0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+...+θnxn

其中 x0 始终为1。所以上面两个函数是等价的。
为了方便，我们记

X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢x0x1x2...xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥;θ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢θ0θ1θ2...θn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

所以有

hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+...+θnxn=[θ0θ1θ2...θn]⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢x0x1x2...xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=θTX

其中， θT 是一个规模为 1×(n+1) 的矩阵， X 是一个规模为 (n+1)×1 的矩阵。假设函数的说明就到这里，下面我们来看看多变量的梯度下降法。

2、多变量梯度下降(Gradient descent for Multiple Variables)

　　1.假设函数(Hypothesis function)：

hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+...+θnxn=θTX

　　2.误差函数(Cost function)：

J(θ0,θ1,...,θn)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

J(θ)=12m∑i=1m(θTx(i)−y(i))2

J(θ)=12m∑i=1m(∑j=0nθjx(i)j)−y(i))2

注意：上面三种形式都是等价的。

在单元线性回归中，我们只对 θ0 和 θ1 使用了梯度下降法，在多元变量的梯度下降中，我们将对每个 θ 都求偏导。其形式如下：

Repeat until convergence:{ //重复直到收敛

θj=θj−α∂∂θjJ(θ)

} (Notice: simultaneously update θj for every j=0,1,2,...,n )
注意：在一次迭代过程中，必须同时更新每个 θ 。例如不能在更新了 θ1 之后，就把新的 θ1 用于更新后面的 θ2 ，而应该使用上一次迭代产生的 θ1 来更新这一次迭代中的 θ2 。

上面的

θj=θj−α∂∂θjJ(θ)

等价于

θ0=θ0−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xi0

θ1=θ1−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xi1

θ2=θ2−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xi2

...

θn=θn−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xin

在执行足够次数的迭代 (iteration) 之后，我们就能取得最佳的 θj 的值。但是在特征(features)数量很大的情况下会遇到一个问题，那就是梯度下降算法可能会非常的慢，下面来看看原因与解决办法。

3、特征缩放(Feature scaling)

我们来考虑这样一个实例：还是预测房价，但是假设每个训练样本有两个特征：

	Size( feet2 )	Number of bedrooms
Range	0-2000	1-5

如果直接进行梯度下降的话，速度可能会非常的慢。至于为什么我们先来看看 J(θ) 的等高线图(contour):

假如只考虑假设函数的 θ1 和 θ2 ，令

hθ(x)=θ1x1+θ2x2

则

J(θ1,θ2)=12m∑i=12(hθ(x(i))−y(i))2

由上面这个函数可以看出，因为 x1 的取值范围很大，即便是 θ1 微小的变化， θ1x1 的值也可能会发生很大的变化；而因为 x2 的取值范围较小，即所以在同程度上 θ2 的变化，不会使得 θ2x2 的值发生很大的变化。所以我们得到了刚才那幅等高线图，因此，我们需要一种方法来解决这个问题。我们用的方法很简单，叫做特征缩放（feature scaling）

特征缩放（feature scaling），顾名思义，就是将特征的取值范围进行缩放，我们采用如下公式对特征进行缩放(还是以上面那个例子来解释)：

x1=Size(feet2)2000⟹0≤x1≤1

x2=NumberOfBedrooms5⟹0≤x2≤1

当我们对每个特征值进行了类似的缩放之后，我们得到了如下的等高线图：

由此可见，缩放之后的等高线图更接近一个圆，而不是一个很扁的椭圆，这样梯度下降法将运行得更加快速。
另外需要说的是，我们一般会希望将每个特征的范围都缩放到 -1 与 1 之间，并且对于偏离这个范围不太大的特征不进行缩放（当然也可以按自己喜好进行缩放）。例如：

Origin range	Need feature scaling?
0≤x1≤3	not need
−2≤x2≤0.5	not need
−100≤x3≤100	need
−0,0001≤x4≤0.0001	need

上面的need和not need并没有一个准确的界限，大可酌情而定。

3、均值归一化(Mean normalization)

正如上面提到的，我们希望将每个特征的范围都缩放到 -1 与 1 之间，并且对于偏离这个范围不太大的特征不进行缩放。

Mean normalization的具体方法是用 x(i)j−μj 来代替 x(i)j 以将特征的范围大致的约束在0的附近（一般为-1到1），注意我们不必对 x(i)0=1 进行归一化。其中 μj 表示特征 xj 的平均值。我们可将均值归一化公式总结为：

x(i)j=x(i)j−μjS(j)

其中 μj 的意义已经说明了， S(j) 表示第 j 个特征的范围。

4、学习速率 α (Learning rate α )

关于学习速率 α 我们需要注意两点：

1.确保梯度下降(gradient descent)能够正确地工作:

一方面，我们先来思考一下梯度下降的速率，先来看一个关于梯度下降的图：

注意到，在100次迭代之后，误差还是很大的，在200次迭代之后误差任然很可观，但是在300次迭代之后，误差算是比较小了，在400次迭代之后，误差也比较令人满意。但这里我们的关注点在300和400这两个阶段上，300次迭代之后，我们发现误差还比较令人满意，而却需要花费额外的100次才能使得误差好那么一点点，所以我们可以声明一个低度下降的下界，比如将 10−3 作为一个下降的下界来避免不必要的额外计算花费。但是，这个下界通常是很难选取的。

另一方面，来看看，梯度下降无法正常工作的情况，看图：

出现这三种情况的原因都是因为学习速率 α 过大，只要逐渐减小学习速率 α 直到正常工作即可。至于为什么是学习速率 α 过大，参考 《机器学习笔记01》。可以明确的一点是，只要 α 足够小， J(θ) 会在每次迭代中都减小，但是如果 α 太小的话，梯度下降将会变得很慢。所以我么可以总结如下：

Causes	Results
If α is too small	Slow convergence
If α is too large	J(θ) may not decrease on every iteration; may not converge

2.如何选取一个合适的 α :

如何选取一个合适的 α 关乎到 Gradient descent 的速率。一般的方法如下：
在自己选定的一个大致范围内进行debug。一般间隔为三倍的关系：

...,0.001,0.003,0.01,0.03,0.1,0.3,1,...

通过试验，选择一个最佳的学习速率，比如0.03。

5、特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)

这部分只是额外的一些关于选择假设函数的东西。下面看个例子，还是房价预测。

假设函数为:

hθ(x)=θ0+θ1×frontage+θ2×depth

令

x=Area=frontage×depth

则

hθ(x)=θ0+θ1x

假设训练数据的分布如下：

我们可能选则次数更高的函数比如二次函数（红色）

hθ(x)=θ0+θ1x+θ2x2

但是如图，我们发现二次函数的后半部分明显不符合数据的走向，总不可房子越大，价钱越低吧。
再来看看三次函数（绿色）

hθ(x)=θ0+θ1x+θ2x2+θ3x3

这个函数是比较合理的一个，另外还有一个函数也比较合适：

hθ(x)=θ0+θ1x+θ2x√

以上就是关于这个例子的一些候选函数。

另外，我们需要注意一下特征缩放。加入有一个假设函数为:

hθ(x)=θ0+θ1x+θ2x2+θ3x3=θ0+θ1(size)+θ2(size)2+θ3(size)3

他们的范围如下：

features	range
x1=(size)	1−1,000
x2=(size)2	1−1,000,000
x3=(size)3	1−109

在进行feature scaling的时候一定要注意除以对应的正确的range。

5、Normal equation(矩阵方程法)

由于篇幅限制，而且normal equation内容较多，所以暂时留个位置在这里，或者会新开一篇。

上面就是多元变量线性回归的大概内容，希望能帮助到大家。
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