(1.1.7.1)上台阶、硬币问题的算法

问题

刚才在首页看到一篇博客,说的是腾讯的一道面试题:一个楼梯有50个台阶,每一步可以走一个台阶,也可以走两个台阶,请问走完这个楼梯共有多少种方法?博主把这题分析的很麻烦。引来很多人围观。我以前也碰到过这个问题。写出来和大家分享一下。

举个例子,假设有3个台阶,则有三种走法:分别是,1-1-1, 1-2, 2-1。

分析

很简单的一道题,学过组合数学的人很快就能想到,这是一个递推关系。假设走完k个台阶有f(k)种走法。

  • k = 1时,f(k) = 1
  • k = 2时,f(k) = 2
  • k = n时,第一步走一个台阶,剩n-1个台阶,有f(n - 1)种走法。第一步走两个台阶,剩n-2个台阶,有f(n - 2)种走法。所以共有f(n - 1) + f(n - 2)种走法。

于是有如下公式

(1.1.7.1)上台阶、硬币问题的算法_第1张图片

代码

//递归算法
int count(unsigned int n)
{
    if(n == 1)
        return 1 ;
    if(n == 2)
        return 2 ;
    else 
        return count(n - 1) + count(n - 2) ;
}
//非递归算法
int count(unsigned int n)
{
 int a = 1;
 int b = 2;
 if (n == 1)
 {
 return a;
 }
 if (n == 2)
 {
 return b;
 }


 int ret = 0;
 for(int i = 2; i<n; i++)
 {
 ret = a + b;
 a = b;
 b = ret;
 }
 return b;//return ret也是可以的,看你怎么理解
}

具体是怎么走的呢?

上面只给出了有多少种走法,那么具体每一种走法是怎么走的呢?比如n=4时,五种走法分别如下:

1,1,1,1

1,1,2

1,2,1

2,1,1

2,2

我们用一个整型数组来存放每一步的内容,1表示这步走了一个台阶,2表示这步走了两个台阶。回溯法搞定。代码如下。

void count(int n, int t)
{
    if(n < 0)
        return ;
    if (n == 0)
        Output(step, t) ;
    else
    {
        for (int i = 1; i <= 2; ++i)
        {
            step[t] = i ;
            count(n - i, t + 1) ;
        }
    }
}

类似的问题

与此题类似的问题有很多,比如铺地砖问题,自然数拆分等。

铺地砖问题

有一个长度为n,宽度为2的地面,有若干块长为2,宽为1的地砖,请问用此地砖铺完这个地面共有多少种方法?

(1.1.7.1)上台阶、硬币问题的算法_第2张图片

分析一下,假设铺完长度为n的地面有f(n)种方法,如果第一块地砖竖起来铺,还剩下长度为n-1的地面,有f(n-1)种方法。如下图。

(1.1.7.1)上台阶、硬币问题的算法_第3张图片

如果第一块地转横着铺,那么还剩下长度为n-2的地面,有f(n-2)种铺法。如下图。

(1.1.7.1)上台阶、硬币问题的算法_第4张图片

所以这道题与上面的题解法完全一样。不同的题目,相同的模型而已。

自然数拆分

给定一个自然数n,将其拆分为若干个自然数字之和,请问有多少种方法?举个例子,n=4时,可以拆分为1-1-1-1,1-1-2,1-3,2-2。

这题和上面的题很像,不过上面的问题是排列问题,而这题是组合问题,比如n=4时,1-1-2,1-2-1,2-1-1这三种只能算一个拆分。在上面的基础上,去掉重复的组合即可。


1、走台阶问题——一次可以走1,2,3级台阶,N级台阶,共有多少种走法?

     看过了hulu笔试题中关于卡特兰数的应用,我们应该很清楚,对于复杂问题简单化的思路: 关键是把原问题分解成不相交的子问题的并集。

     这里,我们仍然采用这样的思路,第一步走1级,剩下N-1级台阶,第一步走2级,剩下N-2级台阶,第一步走3级,剩下N-3级台阶。故有:f(N)  =  f(N-1) + f(N-2) + f(N-3),且f(2) = 2, f(1) = 1, f(0)=1.

因此,求共有多少种,只需要仿照Fibonacci Sequence数组的求法即可。注意:有递归和非递归两种方法,非递归不会的默默的学去吧。

     另外,如果需要求出具体的策略,如何做?回溯法!又一次让人想起了hulu笔试题中的八皇后问题。回溯法的本质,就是穷举。

回溯法在实现过程中,往往需要维护一个记录路线(策略)的数组,并把每一次的回溯策略记录在此种,当发现到达目标后(如:此处为N级台阶走完),输出结果,否则继续探寻下一个位置(如:此处为下一个台阶)。

     走台阶类似的问题,参看: http://blog.csdn.net/weiqubo/article/details/6880128,铺地砖问题(简单),自然数拆分问题(这个是个组合问题,而走台阶是个排列问题)。



1分2分5分的硬币,组成1角,共有多少种组合

我把比较经典的解法整理出来,一般的for循环解法有空在整理

思路分析:


设1分个数为x,2分个数为y,5分的硬币个数为z,则1*x+2*y+5*z=10;
5*z=10-x-2*y;即:
z x对应可能的取值
z=0 时x=10 8 6 4 2 0(6个)
z=1 时x=5 3 1(3个)
z=2时x= 0(1个)
总共个数为6+3+1=10.
因此,按照规律,本题目组合总数为10以内的偶数+5以内的奇数+0以内的偶数
某个偶数m以内的偶数个数(包括0)可以表示为m/2+1=(m+2)/2
某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2

所以,求总的组合次数可以编程为:
number=0;
for (int m=0;m<=10;m+=5)
{
number+=(m+2)/2;
}
cout<<number<<endl;
这样程序是不是简单多了(只需要累加3次,而上面的3层循环呢?大家自己想想)。别人考你肯定不是考你会不会编这个程序,是考你如何去使程序的复杂度降低。
 

C语言代码:

#include <stdio.h>
void main(void) {
 int number=0,m;
 // 因为5*z=10-x-2*y<=10;z的取值范围为0、1、2(注意5*z),所以m的步长是5啊
 for (m=0;m<=10;m+=5) {
  number += (m+2)/2;
 }
 printf("组合数的个数为:%d\n",number);
}

 

该算法对本题没问题,能否提炼出通用算法。
如果6分、4分、2分组成100分怎么处理呢?

和先前一样的道理,2分为x,4分为y,6分为z。则6*z=100-2*x-4*y,可化简为:
3*z=50-x-2*y
z可能的取值为0、1、2···16,
当z=0时,x可以为50 48 46···2 0(26个)
当z=1时,x可以为47 45 43···3 1(24个)
当z=2时,x可以为44 42 40···2 0(23个)
当z=3时,x可以为41 39 37···3 1(21个)
·
·
·
当z=15时,x可以为5 3 1(3个)
当z=16时,x可以为2 0(2个)

因此,按照规律,本题目组合总数为50以内的偶数+47以内的奇数+44以内的偶数+···+5以内的奇数+2以内的偶数
某个偶数m以内的偶数个数(包括0)可以表示为m/2+1=(m+2)/2
某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2

所以,求总的组合次数可以编程为:
number=0;
for (int m=0;m<=50;m+=3)
{
number+=(m+2)/2;
}
cout<<number<<endl;

是不是可以看出规律了呢?实际上就是看表达式(这里是3*z=50-x-2*y),就是把最大乘数(这里是3)放在一边,这也是m增加的步长。而m的最大取值也就是表达式中的这个常数。

你可能感兴趣的:((1.1.7.1)上台阶、硬币问题的算法)