高斯-克吕格投影

 由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19 世纪20 年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912 年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。

　　即等角横切椭圆柱投影。假想用一个圆柱横切于地球椭球体的某一经线上，这条与圆柱面相切的经线，称中央经线。以中央经线为投影的对称轴，将东西各3°或1°30′的两条子午线所夹经差6°或3°的带状地区按数学法则、投影法则投影到圆柱面上，再展开成平面，即高斯-克吕格投影，简称 高斯投影。这个狭长的带状的经纬线网叫做高斯-克吕格投影带。

　　这种投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。 赤道线投影后是直线，但有长度变形。除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。经线和纬线投影后仍然保持正交。所有长度变形的线段，其长度变形比均大于1. 随远离中央经线，面积变形也愈大。若采用分带投影的方法，可使投影边缘的变形不致过大。我国各种大、中比例尺地形图采用了不同的高斯-克吕格投影带。其中大于1:1万的地形图采用3°带；1:2.5万至1:5万的地形图采用6°带。

　　高斯投影概述

　　 投影与变形

　　地图投影：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：

　　x=F1(L,B)

　　y= F2(L,B)

　　式中L,B是椭球面上某点的大地坐标，而X,Y是该点投影后的平面直角坐标。

　　投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。

　　投影变形的形式：角度变形、长度变形和面积变形。

　　地图投影的方式：

　　（1）等角投影——投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；

　　（2）等距投影——投影前后的长度相等，但角度和面积有变形；

　　（3）等积投影——投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。

　　 控制测量对地图投影的要求

　　（1）应当采用等角投影（又称为正形投影）

　　采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。

　　（2）在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数。

　　（3）能按分带投影

　　 高斯投影的基本概念

　　（1）基本概念：

　　如图1所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，如图2所示，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。

　　

  

图1 图2

　　（2）分带投影n

　　l 高斯投影6带：自0子午线起每隔经差6自西向东分带，依次编号1,2,3,…。我国6带中央子午线的经度，由75起每隔6而至135,共计11带（13～23带），带号用N表示，中央子午线的经度用Lo表示，它们的关系是,

　　Lo=6n-3

　　如图所示。

　　l 高斯投影3带：它的中央子午线一部分同6带中央子午线重合，一部分同6带的分界子午线重合，如用n

　　表示3带的带号，表示带中央子午线经度，它们的关系图8-4所示。我国带共计22带（24～45带）。

　　

  

（3）高斯平面直角坐标系

　　在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道

　　的交点0作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标x轴，以赤道的投影为横坐标y轴。

　　

  

在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值（在赤道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500 OOOm。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例如，有一点y=19 123 456.789m，该点位在19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m,最后得=-376 543.211m。

　　（4）高斯平面投影的特点

　　①中央子午线无变形；

　　②无角度变形，图形保持相似；

　　③离中央子午线越远，变形越大。

　　 椭球面三角系化算到高斯投影面

　　

  

将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：

　　（1）将起始点p的大地坐标（L,B)归算为高斯平面直角坐标(X,Y)；为了检核还应进行反算，亦即根据X,Y反算L,B。

　　（2）通过计算该点的子午线收敛角γ及方向δ改正，将椭球面上起算边大地方位角A归算到高斯平面上相应边PK的坐标方位角α。

　　（3）通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。

　　（4）通过计算距离改正Δs，将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。

　　（5）当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。