矩阵奇异值分解与照片压缩、去噪

＃从特征值分解引入
我们知道矩阵的特征值分解是提取矩阵特征的一个方法，

其中v是一个一维矩阵，λ是特征值，代表v表示的矩阵特征的重要性。

但矩阵的特征值分解有一个局限性，在于变换的矩阵必须是方阵。

奇异值分解

现实世界中大部分矩阵都不是方阵，这时如果我们想描述矩阵的特征，就要用到奇异值分解。

假设A是一个N * M的矩阵，那么得到的U是一个N * N的方阵（里面的向量是正交的，U里面的向量称为左奇异向量），Σ是一个N * M的矩阵（除了对角线的元素都是0，对角线上的元素称为奇异值），V’(V的转置)是一个N * N的矩阵，里面的向量也是正交的，V里面的向量称为右奇异向量），从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片

其中，Σ中对角线上的每个元素就是奇异值，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵，这里定义一下部分奇异值分解：

r是一个远小于m、n的数，如此

右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵，在这儿，r越接近于n，则相乘的结果越接近于A。

照片压缩

这是一张美女照片

像素为高度450*宽度333。

我们都知道，图片实际上对应着一个矩阵，矩阵的大小就是像素大小，比如这张图对应的矩阵阶数就是450*333，矩阵上每个元素的数值对应着像素值。

我们对该像素矩阵进行奇异值分解会得到形如上图公式的结果，
如果我们令上面图形中的r为1，即只取结果中第一个（同时也是最大的，奇异值分解的结果中只，在Σ矩阵的对角线上，奇异值是按大小排列的），会得到下图

结果原图根本看不清，如果我们增大r的值，使r为5，会得到下图

继续增加，使r为20

这时就比较清楚了，如果使r为50，基本就和原图看不出差别了

该像素矩阵表示一张照片，如果全部保存的话，需要 450＊333＝149850个元素的值，如果我们要存储很多高清的图片，而又受限于存储空间的限制，在尽可能保证图像可被识别的精度的前提下，我们可以保留奇异值较大的若干项，舍去奇异值较小的项即可。例如在上面的例子中，如果我们只保留奇异值分解的前50项，和存储原始矩阵相比，存储量仅为后者的26%。

数据去噪

奇异值分解不仅可以用作数据压缩，也可以用作数据去噪，比如下面这样图片

相对于白色和黑色的格子，白色夹杂的灰色格子即为噪声。

通过奇异值分解，我们发现矩阵的奇异值从大到小分别为：14.15，4.67，3.00，0.21，……，0.05。除了前3个奇异值较大以外，其余奇异值相比之下都很小。强行令这些小奇异值为0，然后只用前3个奇异值构造新的矩阵，得到

可以看到噪声明显减少了。

在机器学习中的用途

其实，这也是我看奇异值分解的初衷，当你得到的数据样本比较大，数据矩阵元素数量太大时，可以通过奇异值分解，只取排在前列，值比较大的奇异值，提取其中的主要特征，来减少运算量。同时也可以当样本数据中存在噪声时，同时强制使奇异值较小的为0来进行数据去噪。