图像的傅里叶变换

    傅里叶是一位法国数学家和物理学家，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。论文遭到数学家拉格朗日拉格朗日坚决反对。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。

      由于我们的出发点是为数字图像服务，那么就只专注离散傅里叶变换了，这样就不必考虑狄里赫利条件了，因为DFT和IDFT总是存在的。单变量（一维）函数f(x)的离散傅里叶变换(DFT)等式如下：

，

二维函数由此扩展，一个图像尺寸为M*N的函数f(x,y)的DFT等式如下：

    傅里叶变换在图像处理中的意义和作用：

1、跟一维信号处理一样，傅里叶变化，把图像从“空域”变为“频率”。

2、对于一幅图像，高频部分代表了图像的细节、纹理信息；低频部分代表了图像的轮廓信息。

3、如果对一幅精细的图像使用低通滤波器，那么滤波后的结果就剩下了轮廓了。

4、如果图像受到的噪声恰好位于某个特定的“频率”范围内，则可以通过滤波器来恢复原来的图像。

5、图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

6、频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径。

       对于二维的灰度图片DFT函数使用fft2,RGB图像需要先转换成灰度图像再使用函数fft2。fftshift重新分布fft,fft2,fftn的输出结果，将低频分量集中到频谱图中心，同时高频分量分散四周。

示例程序：

clc;
I=imread('house_fire.jpg');
J=rgb2gray(I);
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(I);
title('RGB图');
subplot(2,2,2);
imshow(J);
title('灰度图');
p=fft2(J);
t=fftshift(p);
subplot(2,2,3);
imshow(log(abs(t)),[]);
title('灰度图DFT');
v=ifft2(t);
subplot(2,2,4);
imshow(abs(v),[]);
title('逆变换图像');