hdu 5451 Best Solver(2015沈阳赛区网赛)

Best Solver

                                                      Time Limit: 1500/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65535/102400 K (Java/Others)
                                                                                    Total Submission(s): 78    Accepted Submission(s): 26

Problem Description

The so-called best problem solver can easily solve this problem, with his/her childhood sweetheart.

It is known that  y=(5+26√)1+2x .
For a given integer  x (0≤x<232)  and a given prime number  M (M≤46337) , print  [y]%M . ( [y]  means the integer part of  y )

 

Input

An integer  T (1<T≤1000) , indicating there are  T  test cases.
Following are  T  lines, each containing two integers  x  and  M , as introduced above.

 

Output

The output contains exactly  T  lines.
Each line contains an integer representing  [y]%M .

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    7
0 46337
1 46337
3 46337
1 46337
21 46337
321 46337
4321 46337
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    Case #1: 97
Case #2: 969
Case #3: 16537
Case #4: 969
Case #5: 40453
Case #6: 10211
Case #7: 17947
   
   
   
   

 

      解题思路：

       

          这道题跟斐波拉契数列有关，斐波拉契数列通项公式an= ((1+ √5 )/2)^n+(1- √5 )/2)^n， 这题也可以转化为an=(5+2*sqrt(6))^n+(5-2*sqrt(6))^n 的形式，则an一定是整数的形式,     

         因为an=((5+sqrt(6))+(5-sqrt(6))^n-2*(5+sqrt(6))*(5-sqrt(6))，(5+sqrt(6)+5-sqrt(6))^n=10^n,2*(5+sqrt(6))*(5-sqrt(6))=2,

所以an一定为整数，0<(5-2*sqrt(6)<1,所以0<(5-2*sqrt(6))^n<1,所以这题的y值是an-1。

  就那现在问题就是，怎么来快速的求an？再参考菲波那契数列，通式怎么表达的。a[n]=a[n-1]+a[n-2]。那这里也

可以用类似的表达式，a[n]=p*a[n-1]+q*a[n-2]。带入几个数求得p=10，q=-1，于是通项公式为即a[n]=10*a[n-1]-*a[n-2]。

  由于本题的x比较大，且m比较小，于是可以找循环节，由于是递推关系，后一个只与它前2个有关，于是循环节最大

为m方，另外，循环节肯定从序列开头开始(打表发现的)。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=47337;
bool vis[maxn];
int prim[maxn];
int a[maxn];
int judge(int m)
{
    a[0]=10%m;
    a[1]=98%m;
    for(int j=2;; j++)
    {
        a[j]=(a[j-1]*10-a[j-2]+m)%m;
        //int sign=0;
        if(a[j-1]==a[0]&&a[j]==a[1])
        return j-1;
    }
}
int pow_mod(int x,int mod)
{
    long long ans=1,cur=2;
    while(x)
    {
        if(x&1)
            ans=(ans*cur)%mod;
        cur=(cur*cur)%mod;
        x=(x>>1);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t,ca=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int m;
        long long x;
        scanf("%I64d%d",&x,&m);
        int cmr=judge(m);
        int cwt=pow_mod(x,cmr);
        printf("Case #%d: ",ca++);
        printf("%d\n",(a[cwt]-1+m)%m);
    }
    return 0;
}