灰度图像--图像分割 霍夫变换(Hough Transform)--直线

学习DIP第50天
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开篇废话

废话开始，要过年了，到处人心惶惶，沉下心写篇博客，下一篇就等农历新年以后了。马上新年了，希望自己在新年能提高技术，找到一份图像处理的好工作，也希望大家都能学习到更多的知识，做自己喜欢做的事情。
以前基本每天都写博客，坚持了三个月感觉确实有提高，也能把知识总结分享出来，看着每天博客的访问量不断增长，心里很有成就感，共同学习，共同进步，喜欢分享的人，才能获得别人的分享，好多优秀的同学并不喜欢分享知识，或者用很高深的话显示出自己的知识，现在想想，能用俗话说清相对论的人才是高手，让那些故弄玄虚，作假，抄袭欺骗国家欺骗人民的院士，专家都去shi吧。
废话稍微多了一点点，说说霍夫变换，Hough Transform，由Hough提出，问题原型是如何找到图像中的直线，后来延伸到可以检测出任何可以表示成方程的图形，霍夫变换的检测可以检测不完整的图形，也就是中间有间断的，并且霍夫变换对旋转具有不变性，对噪声不敏感，但是霍夫变换的缺点是需要的存储量较大，标准的霍夫变换运算量大，相对较慢。
本篇只介绍标准霍夫变换对直线的检测，放在图像分割这部分是因为冈萨雷斯书中将霍夫变换用于连接边缘。

数学原理

我们本篇只介绍检测直线，对于图像中直线，一般用方程 y=kx+b ，式子中 k 表示直线的斜率， b 表示直线相对于y轴的截距，如图中所示：

如果按照正常思维，搜索图中的直线，使用穷举的方法，假设图像一共有N个像素任意两点可以构成一条直线，所以过一点应该有(N-1)/2条，所以全图像存在N(N-1)/2条直线，如果要确定一点是否是直线上的点，一共需要至少 N2(N−1)/2 次计算，这个代价的算法在实际中基本没有价值，于是，Hough提出了一种巧妙的方法，将直线表示成 −b=xk−y 这种变换的意义在于自变量不是x而是k，y也不再是因变量，b变成了因变量，所以图像上任意两点，可以从（x，y）坐标系映射到（k，b）坐标系，系数选取点 (x1=1.8,y1=7.6) 和点 (x2=3.4,y2=10.8) ，绘制出两条曲线：

可以根据上图得出k=2，b=4，那么在 y=kx+b 的点的在k，b坐标系上的交点都在(2,-4)处，
根据上面我们可以利用这个特点，将一幅图像从(x,y)坐标系，转换到(k,b)坐标系，假设原图中有k个亮点，可以在(k,b)坐标系画出k条直线，那么越多的直线交于一点，说明该点的坐标为斜率和截距的直线点在原图中出现频率越大，那么我们就能根据这个特点找出这些点。
问题来了，当原图直线和x轴垂直时，斜率k趋近于无穷大，所以在(k,b)坐标系内无法表示，所以我们换一种方法，使用直线 y=kx+b 的法线，截距为-b，那么这条直线为 y=−1kx−b ，如果使用参数方程，原直线为 cos(θ)y−sin(θ)∗x=cos(θ)b ，令 ϱ=cos(θ)b 原坐标的直线为 cos(θ)y−sin(θ)∗x=ϱ ，那么法线的参数方程为 sin(θ)y+cos(θ)∗x=−ϱ ，方程坐标系为 (θ，ϱ) 。
将上面的思想应用到 (θ，ϱ) 坐标系，我们将得到，如下的信息，原图：

转换到参数坐标系：

交点出就是两条对角线的参数。
我们来观察一条直线的参数坐标系：
水平直线：

对应参数坐标系：

垂直直线：

对应参数坐标系：

45°直线：

对应参数坐标系：

-45°直线：

对应参数坐标系：

五条直线交于一点：

对应参数坐标系：

上图中越明亮的点说明重叠参数方程越多，我们来观察两条直线对应参数坐标系的立体情况：
原图：

平面的参数方程坐标系：

参数方程坐标系的立体显示：

代码

void SHT(int x,int y,int zero,double * polar){
    double angle_step=POLARSTEP;
    double angle=-M_PI_2;
    for(int i=0;i<POLARWIDTH;i++){
        int p_y=(int)(((sin(angle)*y+cos(angle)*x)+0.5)*POLARHEIGHT_ZOOM)+zero;
        polar[p_y*POLARWIDTH+i]++;
        angle+=angle_step;
    }
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void HoughLine(double *src,double *dst,int width,int height,int lineLength){
    int polar_height=2*POLARHEIGHT_ZOOM*(int)(sqrt(width*width+height*height)+1);
    int polar_width=POLARWIDTH;
    double *polar=(double *)malloc(sizeof(double)*polar_height*polar_width);
    Zero(polar,polar_width,polar_height);
    for(int j=0;j<height;j++){
        for(int i=0;i<width;i++){
            if(src[j*width+i]==255.0)
                SHT(i, j,polar_height/2,polar);
        }
    }
    for(int j=0; j<polar_height;j++)
        for(int i=0;i<polar_width;i++){
            if(polar[j*polar_width+i]>lineLength){
                double theta=i*POLARSTEP;
                if(theta==M_PI_2)
                    DrawLine(dst, width, height, theta, abs(j-polar_height/2)/POLARHEIGHT_ZOOM);
                else if (theta==0)
                    DrawLine(dst, width, height, theta, abs(j-polar_height/2)/POLARHEIGHT_ZOOM);
                else{
                    DrawLine(dst, width, height, theta, -(int)((j-polar_height/2)/cos(i*POLARSTEP))/POLARHEIGHT_ZOOM);
                }
            }
        }
    free(polar);
}

效果

Hough变换输入图像因为边缘图像，或是二值图像效果如下图：
原图：

边缘检测：

霍夫直线检测：

原图：

边缘检测：

霍夫直线检测：

结论

霍夫变换可以有效的检测出图像中的直线，但需要设定一定的参数，比如定位参数坐标中极大值的方法，以避免错误的检出结果，广义的霍夫变换可以检测任何 g(x⃗ ,c⃗ )=0 表示的形状，只是计算难度根据方程的复杂度决定， c⃗  表示方程参数，参数越多需要的存储空间越大，需要的计算量也越大。
待续。。。