寻找丑字
From： http://www.cnblogs.com/mingzi/archive/2009/08/04/1538491.html
题目：我们把只包含因子
2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。分析：这是一道在网络上广为流传的面试题，据说google曾经采用过这道题。
所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是n % m == 0。根据丑数的定义，丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数如果它能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以连续5。如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。
基于前面的分析，我们可以写出如下的函数来判断一个数是不是丑数：
bool IsUgly(int number)
{
while(number % 2 == 0)
number /= 2;
while(number % 3 == 0)
number /= 3;
while(number % 5 == 0)
number /= 5;
return (number == 1) ? true : false;
}
接下来，我们只需要按顺序判断每一个整数是不是丑数，即：
int GetUglyNumber_Solution1(int index)
{
if(index <= 0)
return 0;
int number = 0;
int uglyFound = 0;
while(uglyFound < index)
{
++number;
if(IsUgly(number))
{
++uglyFound;
}
}
return number;
}
我们只需要在函数GetUglyNumber_Solution1中传入参数1500，就能得到第1500个丑数。该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题我们每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高。
接下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。
这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M2。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2、M3和M5三个数的最小者。
前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T2，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T2。对乘以3和5而言，存在着同样的T3和T5。
有了这些分析，我们不难写出如下的代码：
int GetUglyNumber_Solution2(int index)
{
if(index <= 0)
return 0;
int *pUglyNumbers = new int[index];
pUglyNumbers[0] = 1;
int nextUglyIndex = 1;
int *pMultiply2 = pUglyNumbers;
int *pMultiply3 = pUglyNumbers;
int *pMultiply5 = pUglyNumbers;
while(nextUglyIndex < index)
{
int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMultiply5 * 5);
pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;
while(*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
++pMultiply2;
while(*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
++pMultiply3;
while(*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
++pMultiply5;
++nextUglyIndex;
}
int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];
delete[] pUglyNumbers;
return ugly;
}
int Min(int number1,int number2, int number3)
{
int min = (number1 < number2) ? number1 : number2;
min = (min < number3) ? min : number3;
return min;
}
和第一种思路相比，这种算法不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间复杂度要低很多。感兴趣的读者可以分别统计两个函数GetUglyNumber_Solution1(1500)和GetUglyNumber_Solution2(1500)的运行时间。当然我们也要指出，第二种算法由于要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而需要额外的内存。第一种算法是没有这样的内存开销的。
ANSWER:
TRADITIONAL.
Use heap/priority queue.
int no1500() {
int heap[4500];
heap[0] = 2; heap[1] = 3; heap[2] = 5;
int size = 3;
for (int i=1; i<1500; i++) {
int s = heap[0];
heap[0] = s*2; siftDown(heap, 0, size);
heap[size] = s*3; siftUp(heap, size, size+1);
heap[size+1] = s*5; siftUp(heap, size+1, size+2);
size+=2;
}
}
void siftDown(int heap[], int from, int size) {
int c = from * 2 + 1;
while (c < size) {
if (c+1<size && heap[c+1] < heap[c]) c++;
if (heap[c] < heap[from]) swap(heap, c, from);
from = c; c=from*2+1;
}
}
void siftUp(int heap[], int from, int size) {
while (from > 0) {
int p = (from - 1) / 2;
if (heap[p] > heap[from]) swap(heap, p, from);
from = p;
}
}