渐进符号

 Θ符号
Θ（g(n)）={f(n):对于存在正常数c1、c2和非负的整数n0，以及足够大的n，对于所有的n≥n0来说，

有c1g(n)<=f (n)<=c2g(n)。}

若存在正常数c1、c2,使得对于足够大的n, f (n)能“夹入”c1g(n)和c2g(n)之间，则f (n)属于集合Θ（g(n)）。

如图a，f (n)=Θ（g(n)），对所有的n>n0，函数f(n)在一个常量因子内等于g(n).我们称g(n)是f(n)的一个渐进紧确界。
3n+2=Θ(n)，当c1=3,c2=4，n>=n0=2时，3n<=3n+2<=4n。

大写O符号

Θ记号渐进的给出了一个函数的上界和下界。当只有一个渐进上界时，使用大O符号。
O的定义:当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有的n>=n0，有f(n)<=cg(n)。
这里cg(n)就是函数f(n)的上限。

当我们说运行时间为O（n^2）时，意指存在一个函数f（n），使得对任意输入n，其运行时间的上界都是f(n).这也就是说，最坏运行时间为O（n^2）。

几种函数的例子:
1.线性函数
f(n)=3n+2，当n>=2时，3n+2<=3n+n=4n。所以f(n)=O(n)，这里c就是4，n0=2。
2.平方函数
f(n)=2n^2+3n+3，当n>=3时，3n+3<=4n，当n>=4时，4n<n^2，f(n)=2n^2+n^2=3n^2。
f(n)=O(n^2)，这里c是3，n0=4。
3.指数函数
f(n)=6*2^n+n^2，当n>=4时，n^2<=2^n，所以当n>=4，有f(n)<=6*2^n+2^n=7*2^n。
这里c是7，n0=4，f(n)=O(2^n)。
4.常数阶
f(n)=9，这里就直接记为O(1)，c为9，n0为0就可以了，f(n)=9<=9*1。

 

Ω符号
f(n)=Ω(g(n))，当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有n>=n0，有f(n)>=cg(n)。
Ω符号是给函数的下限。
例子：对于所有的n，有f(n)=3n+2>3n，所以f(n)=Ω(n)，这里c=3，n0=0。这里也可以这样f(n)=Ω(1)，

 定理：对任意两个函数f(n)和g(n),我们有f(n)=Θ（g(n)）,当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。

 

小写o符号
定义:f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)!=Ω(g(n))。

ω（小欧米伽）：非紧的下界。 相当于">"