bzoj 1188: [HNOI2007]分裂游戏（sg函数）

1188: [HNOI2007]分裂游戏

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Description

聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。 该游戏的规则试： 共有 n 个瓶子， 标号为 0,1,2.....n-1, 第 i 个瓶子中装有 p[i]颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择 3 个瓶子。标号为 i,j,k, 并要保证 i < j , j < = k 且第 i 个瓶子中至少要有 1 颗巧克力豆，随后这个人从第 i 个瓶子中拿走一颗豆 子并在 j,k 中各放入一粒豆子（j 可能等于 k） 。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输 掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！ 两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考 了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜 策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子 中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为 了必胜，第一步有多少种取法？ 假定 1 < n < = 21,p[i] < = 10000

Input

输入文件第一行是一个整数t表示测试数据的组数，接下来为t组测试数据（t<=10）。每组测试数据的第一行是瓶子的个数n，接下来的一行有n个由空格隔开的非负整数，表示每个瓶子中的豆子数。

Output

对于每组测试数据，输出包括两行，第一行为用一个空格两两隔开的三个整数，表示要想赢得游戏，第一步应该选取的3个瓶子的编号i,j,k，如果有多组符合要求的解，那么输出字典序最小的一组。如果无论如何都无法赢得游戏，那么输出用一个空格两两隔开的三个-1。第二行表示要想确保赢得比赛，第一步有多少种不同的取法。

Sample Input

2
4
1 0 1 5000
3
0 0 1

Sample Output

0 2 3
1
-1 -1 -1
0

HINT

Source

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题解：sg函数。

这道题刚开始毫无头绪，所有我们一点点来分析。每次选取三个标号为 i,j,k, 并要保证 i < j , j < = k 且第 i 个瓶子中至少要有 1 颗巧克力豆，随后这个人从第 i 个瓶子中拿走一颗豆 子并在 j,k 中各放入一粒豆子（j 可能等于 k），那么这中取豆子什么时候结束呢，只有当所有豆子都集中到最后一个瓶子的时候才结束，因为到最后一个瓶子就无法放豆子了。那么要怎么做呢，自然要从前向后使那些有豆子的瓶子变成0，因为只有这样才能保证对手无法从前面选取一个位置使你刚拿走的豆子又加回来，保证对手只能选取当前或之后的位置。那么其实每个位置豆子都可以看成是一个单独的游戏，最后只需要把所有豆子的答案异或起来即可。那么可以用sg[i]表示位置i 上豆子的值，因为i的后继状态肯定是所有的(j,k)，其后继状态的sg值就是sg[j]^sg[k]。就可以通过(j,k)得到sg[i]的答案。因为异或的特殊性质，所以如果一个堆的石子个数是偶数，那么就是偶数个同样的数相异或，结果为0，不考虑。那么算出最终答案后如果得到字典序最小的第一步的选取方案呢？如果先手可以取胜的话，那么最终状态就是必胜态，那么不选第一步（及第一步前的状态）一定是必败态，那么根据异或的性质，利用ans^sg[i]^sg[j]^sg[k]就能得到前一个状态，而这个值如果为0，就是合法解，从小到大n^3枚举即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,t;
int sg[100],ans,a[100],vis[100];
void dfs(int x)
{
	vis[x]=1;
	if (x==n) {
		sg[x]=0;
		return;
	}
	bool mark[10000]; 
	memset(mark,0,sizeof(mark));
	for (int i=x+1;i<=n;i++)
	 for (int j=i;j<=n;j++)
	 {
	  if (!vis[i])  dfs(i);
	  if (!vis[j])  dfs(j);
 	  mark[sg[i]^sg[j]]=1;
     }
	for (int i=0;i<10000;i++)
	 if (!mark[i]) 
	 {
	  sg[x]=i;
	  break;
     }
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	for (int T=1;T<=t;T++)
	 {
	 	scanf("%d",&n);
	 	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	 	memset(sg,-1,sizeof(sg));
	 	ans=0;
	 	memset(vis,0,sizeof(vis));
	 	for (int i=1;i<=n;i++)
	 	 if (!vis[i])  dfs(i);
	 	for (int i=1;i<=n;i++)
	 	 if (a[i]&1)  ans^=sg[i];
	 	int tot=0;
	 	for (int i=1;i<=n-1;i++)
	 	 for (int j=i+1;j<=n;j++)
	 	  for (int k=j;k<=n;k++)
	 	   {
	 	   	 if (ans^sg[i]^sg[j]^sg[k])  continue;
	 	   	 tot++;  
	 	   	 if (tot==1) printf("%d %d %d\n",i-1,j-1,k-1);
	 	   }
	 	if (!tot) printf("%d %d %d\n",-1,-1,-1);
	 	printf("%d\n",tot);
	 }
}