[置顶] 计算复杂性学习0-图灵机介绍

图灵机貌似笨拙无力，但它可以模拟任意算法而不损失效率。

图灵机的神奇之处，在于只需要很少的预设便可以表达一切。作为程序语言，图灵机只有单一的数据结构，而且它是颇为原始的字符串。允许的操作包括读写头在字符串上左移，右移，在当前位置写和根据当前位置选择下一步操作。总而言之，都是极其原始弱小的语言。但是其本身可以表达任意算法，可以模拟任意程序语言。

上图描述了一个三带图灵机的运行快照。

图灵机可以看成是现代计算机的简化，它的带是计算机的内存，而转移函数和寄存器是计算机的CPU。虽然如此，但最好还是将图灵机视为描述算法的一种简单的形式化方法。尽管描述算法的最佳方法是用白话，但这种形式化描述方法将有助于对算法的数学分析。

图灵机是一个四元组M=（ K,Σ,δ,s ）。K代表有限状态集（这些是隐含的指令） s∈K 为初始状态， Σ 为有限字符集，（称 Σ 为M的字符表）。假设K和 Σ 无交集， Σ 总包含特殊字符 ⊔ 和 ⊳ ：空格符和首字符。最后 δ 是从 K×Σ 到（K ∪ {“yes”,”no”,h} ×Σ×{←,→,−} 的转移函数，并假定h（停机状态）、yes接受状态、no拒绝状态，以及读写头的方向 ←,→,− 表示左移、右移和停留，这三个字符不在 K×Σ 之中。
函数 δ 相当于机器的执行器，它为每个当前状态q ∈K 和每个字符 σ∈Σ 的组合指定了三元组 δ(q,σ)=(p,ρ,D) 。p表示下一个状态， ρ 表示覆写在 σ 上的字符， D∈{←,→,−} 表示读写头的移动方向。对于 ⊳ 规定，若任意 p，q 满足 δ(q,⊳)=(p,ρ,D) ，那么 p=⊳并且D=→ 。也就是说， ⊳ 总是让读写头向右移动，且绝不会被删除。

程序如何启动？初始状态是s，字符串以 ⊳ 开始，然后是有限长的字符串 x∈(Σ−{⊔})∗ 。我们称x为为图灵机的输入。读写头初始总指向第一个字符 ⊳ 。
从初始格局来看，机器根据 δ 运行一步，改变其状态，输出字符，移动读写头。然后是下一步，再下一步。注意 δ(p,⊳) 规定，字符串总是以 ⊳ 开始，因此读写头从不会溢出字符串的左端。

尽管读写头不会溢出字符串的左端，但它会远离右端。在这种情况下，读写头扫描到的被认为是 ⊔ ,并可能马上被覆写。因此串也就变得更长-这是必要特性，如果机器进行的是通用计算，传总会变长。

由于 δ 是完全明确的函数，而读写头不会溢出左端，所以机器停止的原因只有一个：其状态是三个停止状态之一：h、yes和no。如果这些发生了，我们就说停机了。而且，如果状态为yes，我们称机器为接收收入；状态为no是拒绝输入。如果机器在x下停止，就可以定义M在x下的输出，记为 M(x) 。如果M接受或者拒绝x，那么 M(x) 分别等于yes或no；否则，如果停止在h，则输出是停机时M上的字符串。因为经过有限步计算之后，字符串由一个 ⊳ 紧跟尾字母非 ⊔ 的有限字符串y构成，也可能紧跟全为 ⊔ 的字符串（y可能为空）。我们将y看成是计算的输出，记为 M(x)=y 。自然，M可能在输入x不停机，在这种情况下记为 M(x)=↗ 。