打印螺旋矩阵

螺旋矩阵是一个nxn的方阵，其中元素为自然数，但像螺旋方向一样递增。举例如下：

 

若n = 3，螺旋矩阵为：

1   2   3
8   9   4
7   6   5

若n = 4，螺旋矩阵为：

 1   2   3   4
12  13  14   5
11  16  15   6
10   9   8   7

若n = 5，螺旋矩阵是：

 1   2   3   4   5
16  17  18  19   6
15  24  25  20   7
14  23  22  21   8
13  12  11  10   9

 那么如何打印这样的矩阵呢？当然它的规律很简单，直接的方法就是先申请一个矩阵，然后按螺旋方向填入相应的元素，填充完毕后再打印出来。它的时间按复杂为O(n²)，已经是最优的（为什么？）。空间复杂度也为O(n²）。似乎已经很好了。

 

但是还不够好。

 

按照矩阵规律填充元素时，我们是随机访问矩阵元素的（如果可以按顺序访问，根本不用先存起来再打印）。随机访问内存，效率当然不高。所以即使时间复杂度已为最优，但那只是理论上的最优，在实践中表现并不一定就好。

 

假如能根据行列号直接计算出对应的矩阵元素就好了。当n给定后，这个矩阵就已经唯一确定了，那么每一个元素也是确定的。也就是说，每一个位置放什么元素仅仅取决于n。因此我们可以找到一个函数element(i, j)，将行号i和列号j映射成对应这个行列号的元素。当然这个函数肯定不是一个简单的函数，不是一眼就可以看出来的，但也并不是不可能。

 

现在我们就来考查一下这个矩阵有什么特点。注意观察一下螺旋矩阵的最外层，它的左上角的元素是最小的，然后沿顺时针方向递增，就如同一个环一样（比如n为4时，1, 2, ..., 12就是最外面一层环）。再注意一下里面一层，也是一样，顺时针方向递增的一个环（比如n为4时，13, 14, 15, 16就是里面一层环）。以此类推，环里面还有一层环（n为4时有2层环，n为5时有3层环，最里面一层只有一个元素25），实际上是一个圆环套圆环结构。每一圆环最关键的元素就是左上角的那一个元素。只要知道了这个元素，再加上这个正方形环的边长就可以计算出剩下的元素。设左上角元素为a，边长为l（ell），也就是边上有几个元素，并假设左上角的行号和列号均为0，其它元素的行号和列号都以它作参考，计算方法如下所示：

 

1. 若i == 0，element(i, j) = a + j;

2. 否则若j == 0，element(i, j) = a + 4(l-4) - (i-1) - 1;

3. 否则若i == l-1，element(i, j) = a + 4(l-4) - (l-2) - 1 - j;

4. 否则element(i, j) = a + l - 1 + i;

 

剩下的问题就是如何确定左上角的元素，以及当前环在第几层（最外层是第0层，往里面依次递增）。这些都好办。代码如下：

int matrix(int i, int j, int n) { int m, a, l; m = min(min(i, n-1-i), min(j, n-1-j)); // 当前环在第几层。 i -= m; // 换算成相对于当前层左上角元素的行列号。 j -= m; a = 1 + 4*m*(n-m); // 计算左上角元素。 l = n - 2*m; // 当前环的边长。 if (i == 0) return a+j; else if (j == 0) return a + 4*(l-1) - i; else if (i == l-1) return a + 4*l - 3 - l - j; /* else j == m-1 */ return a + l-1 + i; } 

其实这种方法不仅可以用于这种矩阵，对于其它有各种规律的矩阵也可以用这种方法，关键是找出那个函数的定义。推而广之，许多问题实际上在数学上都可以找到这种简单答案（所谓简单答案，我指的是类似于级数求和的闭式（closed form），不用递归或循环计算出答案，而是在有限的步骤之内算出答案。所谓有限是指与问题规模无关。像上面的问题，计算步骤就与矩阵元素个数无关），我们应当尽量地去找这种简单的答案，而不是用计算机模拟求解。比如约瑟夫（Josephus）环问题，有一个漂亮的简单答案，在常量时间内算出，根本不需用链表或数组模拟。当然，也有许多问题没有这么漂亮的解法，只好用计算机模拟求解，不过最好还是尽量想办法找到这种简单的解法。