数学分析原理-第1章 实数系和复数系

导引

1.1Example后面证明A没有最大值，B没有最小值是这样构建的

q=p−p2−2p+2=2p+1p+2

巧妙的构造

有序集

1.10中least-upper-bound property的定义考虑实数集是满足的，有理数集则不满足
1.11Theorem的证明比较难理解，首先证明 α 存在，然后由于 α∈L （ α 为下界）并且 β∉L 如果 β>α （ α 为下确界），证明完成

实数域

1.20定理：每两个实数之间必然有一个有理数
对于x,y，存在n满足 n(y−x)>1
存在m满足 m−1<=nx<m
所以 nx<m<=1+nx<ny
得出 x<m/n<y
1.21定理证明过程中为了得出 yn<x 不成立，需要找到h>0，使得 (y+h)n<x ，h的选择可以逆向得出:

(y+h)n−yn<x−yn

(y+h)n−yn<hn(y+h)n−1

对于 yn>0 不成立的证明类似

广义实数域

广义实数域不构成域，因为 +∞+(−∞) 没有定义

复数域

复数域的定义为定义了加法和乘法的有序实数对，与通常数学书上说的通过-1的平方根定义不太一样，虽然是同一个东西。

练习

自己的理解，可能有误
1
x=(r+x)-r，如果r+x为有理数，则x为有理数，矛盾
如果rx=a/b, r=c/d，则x=ad/bc，为有理数，矛盾
2
2的平方根不是有理数的证明中，把其中2替换为3
4
对于E中的任意元素x满足 α≤x≤β
5
根据定理1.9，存在 α=infA ， α≤x ，故 −α≥−x ， −α 为-A的上界，如果 −α>−y ，则 y>α ，所以y不是A的下确界，A中存在z满足 α≤z<y ，所以-A中存在-z满足-z>-y，由于y是任意选择的，所以比 −α 小的任意数都不是-A的上界，证明完成
6(a)
令 m/n=p/q=e/f , e/f 为既约分数， m=x1e,n=x1f,p=x2e,q=x2f
令 a=(bm)1n , c=(bp)1q , g=(be)1f
gf=be
an=bm,ax1f=bx1e=gfx1
cq=bp,cx2f=bx2e=gfx2
得出 a=c=bef=br
(b) r=m/n , s=p/q
br+s=b(mq+pn)/(nq)=(b(mq+pn))1/(nq)
根据定理1.21的推论得到 br+s=bmnbpq
(c)
如果 m/n<p/q ，则根据前面有理数幂的定义，有 (amn)nq<(apq)nq ，所以如果r是有理数 br=supB(r)
定义实数幂为 bx=supB(x)
(d)
bx+y=sup{bt,t<x+y}=sup{bt1+t2,t1<x,t2<y}=bxby
7
(a)
bn−1=(b−1)(bn−1+...+1)≥n(b−1)
(c)
n(t−1)>(b−1)≥n(b1/n−1) 所以 t>b1/n
(d)
说明 supA≥y
(e)
说明 supA≤y
8
有序域的第一个条件应该可以满足，但是第二个条件由于 i2=−1 不能满足，因为实部运算同号不变(正正的正)，虚部同号运算变号(正正得负)
9
证明有序集根据定义容易得出
在扩展的复数域有最小上界属性
10显然z和-z满足条件
12归纳法
16
设x和y的中点为a，则xza和yza为全等三角形对于 k≥3 ，如果2r>d，显然可以取到无数个z!=a的点， 2r=d 则z=a， 2r<d 则取不到
k=2的情况， 2r>d 有2个点， 2r=d 有1个点， 2r<d 没有
k=1的情况， 2r=d 有1个点，否则没有
17
平行四边形定理
18k=1即使实数，显然不成立。对于k>1，对于任意x，可以这样选择y：前k-1维任意选择，最后一维选择使得x*y=0
19
<x−a,x−a>=4<x−b,x−b>
3x2−8<x,b>+2<x,a>+4b2−a2=0
x2−2<x,(4b−a)/3>+((4b−a)/3)2=4<a−b,a−b>/9