倍增和LCA
倍增和LCA
现在终于可以写这篇文章了，拖了很久没有学的倍增在去NOIP2015打酱油之前终于初步学习完。再次特别声明十分感谢fye的帮助，生命中第一篇倍增和LCA就是以她的代码为模板的，并且应该会一直延续下去。。。= =
【倍增是什么】
顾名思义，倍增就是根据已经得到的信息，将考虑的范围扩大一倍，从而加速操作的一种思想。
【有关倍增的算法】
使用了倍增思想的算法有很多，包括归并排序、快速幂、基于ST表的RMQ算法和树上倍增找LCA等，还有FFT、后缀数组等高级算法（wok…），而我们只是初级入门，学习了树上倍增找LCA。
【树上倍增找LCA】
算法的基本思路是：求两个点的LCA，先把深度较深的点移到和另一个点相同的深度，然后一起向上移动，直到重合，就找到了LCA，倍增其实是加速区间操作的一种手段，因为相当于把每个数进行二进制分解，倍增的复杂度在logN级别。
在这里不做详细讲解，只给出普通查找和使用倍增优化的代码模板，详情可以百度“倍增算法 高天宇”，SLYZGTY学长为你详细讲解。= =
【普通查找LCA】
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a,b,x,y,ans;
int h[105],f[105][105],fa[105];
bool bb[105];
void build(int t,int dep){
h[t]=dep;
int r;
for (r=1;r<=n;++r)
if (f[t][r]&&!bb[r]){
bb[r]=true;
fa[r]=t;
build(r,dep+1);
}
}
int lca(int x,int y){
if (h[x]<h[y]) swap(x,y); int k=h[x]-h[y];
for (int i=1;i<=k;++i)
x=fa[x];
while (fa[x]!=fa[y]){
x=fa[x];y=fa[y];
}
return fa[x];
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
for (int i=1;i<n;++i){
scanf("%d%d",&x,&y);
f[x][y]=f[y][x]=1;
}
bb[1]=true;
build(1,1);
ans=lca(a,b);
printf("%d",ans);
return 0;
}【倍增优化】
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define sz 8
using namespace std;
int n,a,b,i,t,ans,x,y;
int v[105],next[105],point[105],h[105],mi[sz],f[105][sz],root[105];
inline void add(int x,int y,int i){
v[i]=y; next[i]=point[x]; point[x]=i;
}
inline void build(int x,int fa,int dep){
h[x]=dep;
for (i=1;i<sz;++i){
if (h[x]-mi[i]<1) break;
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
for (int i=point[x];i;i=next[i])
if (v[i]!=fa){
f[v[i]][0]=x;
build(v[i],x,dep+1);
}
}
inline int lca(int x,int y){
if (h[x]<h[y]) swap(x,y);int k=h[x]-h[y];
for (int i=0;i<sz;++i)
if ((k>>i)&1)
x=f[x][i];
if (x==y) return x;
for (i=sz-1;i>=0;--i)
if (f[x][i]!=f[y][i]){x=f[x][i];y=f[y][i];}
return f[x][0];
}
int main()
{
mi[0]=1; for (i=1;i<sz;++i) mi[i]=mi[i-1]*2;
scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
for (i=1;i<n;++i){
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y,i<<1);
add(y,x,i<<1|1);
}
build(1,0,1);
ans=lca(a,b);
printf("%d",ans);
return 0;
}其实上面两个程序的数据是很弱的，暴力查找LCA都可以承受，只是为了练练手。。。
使用倍增优化用到了next数组，因为如果使用倍增时数据很大，其他存储方式无法存储，next数组是优先考虑的存储形式。
f[x][i]表示结点x向上蹦2^i个点到达的结点是哪个，从小到大枚举i，转移方程为：f[x][i]=f[f[x-1][i-1]][i-1]。
如果在预处理时和查找LCA时记录一些别的信息，我们还可以处理很多维护和查询问题。
算法精妙，用心体会。。。