R语言之矩阵操作和运算

1.转置运算
    对于矩阵A，函数t(A)表示矩阵A的转置，如：
> A=matrix(1:6,nrow=2);
> A;
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    3    5
[2,]    2    4    6
> t(A);
     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4
[3,]    5    6


2.求方阵的行列式
     函数det()是求矩阵行列式的值，如
> det(matrix(1:4,ncol=2));
[1] -2


3.向量的内积
    对于n维向量x，可以看成nxl阶矩阵或lxn阶矩阵。若x与y是相同
维数的向量，则x%*%Y表示x与y作内积.例如，
>x=1:5; Y=2*1:5
>x%*%y
      [，1]
[1，]110
    函数crossprod()是内积运算函数(表示交叉乘积)，crossprod(x,y)计算向量x与y的内积，即t(x) %*% y'。crossprod(x)表示x与x的内积.
    类似地，tcrossprod(x,y)表示’x%*%t(Y)’，即x与y的外积，也称为叉积。tcrossprod(x)表示x与x作外积.如：
> x=1:5; y=2*1:5;
> crossprod(x);
     [,1]
[1,]   55
> crossprod(x,y);
     [,1]
[1,]  110
> tcrossprod(x);
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    2    3    4    5
[2,]    2    4    6    8   10
[3,]    3    6    9   12   15
[4,]    4    8   12   16   20
[5,]    5   10   15   20   25
> tcrossprod(x,y);
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    2    4    6    8   10
[2,]    4    8   12   16   20
[3,]    6   12   18   24   30
[4,]    8   16   24   32   40
[5,]   10   20   30   40   50


4.向量的外积(叉积)
设x和y是n维向量，则x%o%y表示x与y作外积.例如
> x%o%y;
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    2    4    6    8   10
[2,]    4    8   12   16   20
[3,]    6   12   18   24   30
[4,]    8   16   24   32   40
[5,]   10   20   30   40   50

outer()是更为强大的外积运算函数，outer(x,y)计算向量二与y的外积，它等价于x %o%y函数。

outer()的一般调用格式为 outer(x，y，fun=”*”)

其中x, y矩阵(或向量)，fun是作外积运算函数，缺省值为乘法运算。函数outer()在绘制三维曲面时非常有用，它可生成一个x和y的网格。


5.矩阵的乘法
    设A和B为两个矩阵，通常意义下的矩阵乘法是通过A%*%B来完成，crossprod(A,B)表示的是
t(A)%*%B，而tcrossprod(A,B)表示的是A%*%t(B)。最后我们通过运算知道x%*%A%*%x为二次型。

> A=array(1:9,dim=(c(3,3)))
> B=array(9:1,dim=(c(3,3)))
> A%*%B;
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   90   54   18
[2,]  114   69   24
[3,]  138   84   30
> crossprod(A,B)==t(A)%*%B;
     [,1] [,2] [,3]
[1,] TRUE TRUE TRUE
[2,] TRUE TRUE TRUE
[3,] TRUE TRUE TRUE
> tcrossprod(A,B)==A%*%t(B);
     [,1] [,2] [,3]
[1,] TRUE TRUE TRUE
[2,] TRUE TRUE TRUE
[3,] TRUE TRUE TRUE


6.生成对角阵和矩阵取对角运算
    函数diag()依赖于它的变量，当v是一个向量时，diag(v)表示以v的元素为对角线元素的对角阵.当M是一个矩阵时，则diag(M)表示的是取M对角线上的元素的向量.如
> v=c(1,4,5);
> diag(v);
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    4    0
[3,]    0    0    5
> M=array(1:9,dim=c(3,3));
> diag(M);
[1] 1 5 9


7.解线性方程组和求矩阵的逆矩阵
    若求解线性方程组Ax=b，其命令形式为solve(A,b)，求矩阵A的逆，其命令形式为solve(A).设矩阵A=t(array(c(1:8,10),dim=c(3,3))),b<-c(1,1,1),则解方程组Ax=b的解x和求矩阵A的逆矩阵的命令如下:
> A=t(array(c(1:8,10),dim=c(3,3)));
> b=c(1,1,1);
> x=solve(A,b);
> x;
[1] -1.000000e+00  1.000000e+00  3.806634e-16
> solve(A);
           [,1]      [,2] [,3]
[1,] -0.6666667 -1.333333    1
[2,] -0.6666667  3.666667   -2
[3,]  1.0000000 -2.000000    1


8.求矩阵的特征值与特征向量
    函数eigen(Sm)是求对称矩阵Sm的特征值与特征向量，其命令形式为:ev=eigen(Sm),则ev存放着对称矩阵Sm特征值和特征向量，是由列表形式给出的，其中ev$values是Sm的特征值构成的向量，ev$vectors是Sm的特征向量构成的矩阵.如
> Sm=crossprod(A,A);
> ev=eigen(Sm);
> ev;
$values
[1] 303.19533618   0.76590739   0.03875643

$vectors
           [,1]         [,2]       [,3]
[1,] -0.4646675  0.833286355  0.2995295
[2,] -0.5537546 -0.009499485 -0.8326258
[3,] -0.6909703 -0.552759994  0.4658502