【BZOJ 2820】 YY的GCD

2820: YY的GCD

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Description

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题

给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对

kAc 这种傻×必然不会了，于是向你来请教 ……

多组输入

Input

第一行一个整数T 表述数据组数

接下来T行，每行两个正整数，表示N, M

Output

T 行，每行一个整数表示第i组数据的结果

Sample Input

2
10 10
100 100

Sample Output

30
2791

HINT

T = 10000

N, M <= 10000000

莫比乌斯函数。

iwtwiioi的题解非常详细orz

大概说一下做法，求gcd(x,y)=k的(x,y)的对数就是【BZOJ 1101】，那么这道题可以枚举k来求，但是会TLE，那么我们考虑公式的变形。（详见iwtwiioi的题解。。）

接下来的关键就是求g[x]函数：根据线性筛的原理，为了方便，把g[x]变成求g[kp]。

k是线性筛的时候当前要处理的数，p是枚举已经筛出来的质数(一定<k)。

就像求莫比乌斯函数一样，分三种情况：

1.k为质数，g[k]=1

2.k%p=0，说明p的指数>=2，然后根据g[x]函数的计算方法来计算此时的g[kp]，分p'=p和p'!=p两种情况。

得出g[kp]=mu[k]

3.k%p!=0，说明p的指数=1，然后根据g[x]函数的计算方法来计算此时的g[kp]，分p'=p和p'!=p两种情况。

得出g[kp]=-g[k]

于是在求莫比乌斯函数的同时就把g数组求好了，按照原来的分块方法计算即可~

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#define LL long long
#define M 10000005
using namespace std;
int check[M],mu[M],p[M],sum[M],g[M];
void Getmobius()
{
	mu[1]=1;
	int tot=0;
	for (int i=2;i<=M;i++)
	{
		if (!check[i])
		{
			p[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
			g[i]=1;
		}
		for (int j=1;j<=tot;j++)
		{
			if (p[j]*i>M) break;
			check[p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]==0)
			{
				mu[p[j]*i]=0;
				g[p[j]*i]=mu[i];
				break;
			}
			mu[p[j]*i]=-mu[i];
			g[p[j]*i]=mu[i]-g[i];
		}
	}
	for (int i=1;i<=M;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+g[i];
}
LL Calc(int a,int b)
{	
	LL ans=0LL;
	int pos;
	for (int d=1;d<=min(a,b);d=pos+1)
	{
		pos=min(a/(a/d),b/(b/d));
		ans+=(LL)(sum[pos]-sum[d-1])*(a/d)*(b/d);
	}
	return ans;
}
int main()
{
        Getmobius();
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%lld\n",Calc(n,m));
	}
	return 0;
}

感悟：

1.发现普通的计算方法TLE，对式子变形化简

2.求g数组套在线性筛中~