HDU 1098 Ignatius's Puzzle（解法汇集）
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098
题意：
求针对输入的k，能否找到一个最小的a，使得当x取任意自然数时，f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x始终能被65整除。
我的解法：
取f(1),f(2)两个特殊值得。
1. 5+13+k*a=65*T1 ->> k*a=47+65*T3
2. 5*2^13+13*2^5+2*k*a=65*T2 ->> 41376+2*k*a=65*T2 ->> 636*65+36+2*k*a=65*T2 ->> 2*k*a=29+65*T4
由1,2化简的式子做差可得，k*a+18=65*(T4-T3)。
故只需从1开始枚举a的值，到65为止。如果期间有可以整除65的值，输出，break，找不到，就输出'no'。因为a大于65时，可以将a分成65+x，65可以整除，移到右边，x的情况在前面已经枚举过了，故只要到65即可。
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int k,i;
while(scanf("%d",&k)!=EOF)
{
for(i=1;i<=65;i++)
{
if((18+k*i)%65==0){printf("%d\n",i);break;}
}
if(i>65)printf("no\n");
}
return 0;
}
解法2：
原文链接：http://blog.csdn.net/zcy20121105/article/details/7854926
思路：题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x; 用数学归纳法证明：x取任何值都需要能被65整除..
所以我们只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,
证明f(x+1)也成立即可。
那么把f(x+1)展开，则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;
很容易证明，除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a
所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目.
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int k,i;
while(scanf("%d",&k)!=EOF)
{
for(i=1;i<=10000;i++)
{
if((18+k*i)%65==0){printf("%d\n",i);break;}
}
if(i>10000)printf("no\n");
}
return 0;
}
解法3：
原文链接：http://www.cnblogs.com/zlyblog/archive/2012/07/14/2591513.html
f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：
（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)
（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))
（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡8(mod 13))
（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有 k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)
代码：
//杭电1098Ignatius's puzzle
#include<stdio.h>
int main()
{
int k,i,flag;
while(scanf("%d",&k)!=-1)
{
for(i=1;i<66;i++)
{
if(i*k%13==8&&i*k%5==2)
{
flag=i;
break;
}
else
flag=0;
}
if(flag)
printf("%d\n",flag);
else
printf("no\n");
}<p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;">
</p>
return 0;
}
解法4：
原文链接：http://blog.csdn.net/yhrun/article/details/6749201
<p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;">题目大意：方程f(x)=<span style="font-family: 'Times New Roman';">5*x^13+13*x^5+k*a*x；输入任意一个数k，是否存在一个数a，对任意x都能使得f(x)能被65整出；输入a；</span></p><p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;"><span style="font-family: 'Times New Roman';">解题报告：假设存在这个数a ,因为对于任意x方程都成立，所以，当x=1时f(x)=18+ka;有因为f(x)能被65整出，这可得出f(x)=n*65;</span></p><p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;"><span style="font-family: 'Times New Roman';">即：18+ka=n*65;若该方程有整数解则说明假设成立。</span></p><p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;"><span style="font-family: 'Times New Roman';">对于方程有整数解：a*x+b*y=m;如a，b的最大公约数为1，则有整数解</span></p>
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int fun(int m,int n)
{
int a=m;int b=n;int c;
if(a>=b)
{
while(b)
{
c=a%b;a=b;b=c;
}
return a;
}
else
{
while(a){
c=b%a;b=a;a=c;
}
return b;
}
}
int main()
{
int m;
while(cin>>m)
{
if(fun(65,m)==1)
{
for(int i=1;;i++)
{
if((i*65-18)%m==0)
{cout<<(i*65-18)/m<<endl;break;}
}
}
else cout<<"no"<<endl;
}
}