soj 1685: Chopsticks(线性dp)

@(K ACMer)

题意:
给你n个人,你需要给 (n+8) 个人,每个人发三只筷子.这三只筷子中较小两个长度的差值的平方就是这三只筷子的差异值.要求把k根筷子分发给 (n+8) 个人,让总的差异值最小.
分析:
首先拿到这个问题,会发现要选一定选择相邻的两个作为筷子的性质.因为只有它们的差值最小.
那我们先不考虑第三根筷子,可以很直观的想到一个dp,定义 dp[i][j] 为前i个数中划分j个三元组的最小差异值,有转移方程:

dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i−2][j−1]+(a[i]−a[i−1])2)

就是选不选第i和i -1个数作为第j个三元组.
这里有一个及其trick的地方,就是从大到小的选择这些筷子,只要保证i >= j * 3就一定有满足条件的第三根筷子.
因为你每次选择都是选择i和i- 1根筷子来做前两根筷子,那么第三根筷子在他们右边,一定比他们大.
反思:
这种划分的线性问题,相邻元素之间都有关系,才能实现转移,所以我们会先去观察相邻元素间的性质.
这个题真的太技巧….

code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int mod = int(1e9) + 7, INF = 1e8, maxn = 5e3 + 40;
int a[maxn], dp[maxn][maxn / 5], n, k;

int main(void) {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &k, &n);
        k += 8;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[n - i + 1]);
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = 0;
            for (int j = 1; j <= k; j++)
                dp[i][j] = INF;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= min(k, i / 3); j++) {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 2][j - 1] + (a[i] - a[i - 1]) * (a[i] - a[i - 1]));
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n][k]);
    }
    return 0;
}