POJ 2299-Ultra-QuickSort（树状数组求逆序数）
Ultra-QuickSort
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Description
In this problem, you have to analyze a particular sorting algorithm. The algorithm processes a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. For the input sequence
9 1 0 5 4 ,
Ultra-QuickSort produces the output
0 1 4 5 9 .
Your task is to determine how many swap operations Ultra-QuickSort needs to perform in order to sort a given input sequence.
Input
Output
Sample Input
5 9 1 0 5 4 3 1 2 3 0
Sample Output
6 0
Source
题目意思：
有一组数，求升序排列需要交换多少次，即对给定的每组数逆序数。可以用选择排序、归并排序和树状数组的思想来考虑，但是选择排序会超时。
解题思路：
这里我们考虑用树状数组来解决。分两步，离散化和求逆序数。
①离散化
因为题目中给出的n < 500,000而0 ≤ a[i] ≤ 999,999,999，所以我们可以把输入的N个数a[i]，按大小顺序分别映射到1~N。
例如 9 1 0 5 4 可以离散化映射为 5 2 1 4 3.
②求逆序数
“逆序数就是数中各位在它前面有多少个数比它大，求出这些元素个数之和。”
每输入一个数就更新一次c数组再判断一次当前比这个数大的数的个数。
说明：
i是当前已经插入的数字的个数；
num[i]是原序列中的数离散化后的各个数；
getsum(num[i])表示比num[i]小的数的个数，getsum(num[i])等于num[num[i]–lowbit(num[i])+1]+...+num[num[i]]；
i-getsum(num[i])表示比num[i]大的数的个数，这就是逆序数。
Note：困扰了我好几个小时的就是为什么“getsum(num[i])表示比num[i]小的数的个数”？
想了很久，我的理解是这样的：
因为是依次插入，每次都做查询，所以肯定是与当前的数有关。c数组是对数组的一种求和统计，每次输入后需要更新，更新时把该数被包含在c数组里的数据全部加一，所以c[i]表示当前比i小的数的个数。
代码一：先更新再求和
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 500005
int c[MAXN],n,num[MAXN];
struct Node
{
int val,no;
} data[MAXN];
bool cmp(Node a,Node b)
{
return a.val<b.val;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int v)
{
while(x<=n)
{
c[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
}
int getsum(int x)
{
int sum=0;
while(x)
{
sum+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return sum;
}
int main()
{
int i;
long long ans;
while(scanf("%d",&n),n)
{
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&data[i].val);
data[i].no=i;//保存每个数输入时的下标
}
sort(data+1,data+n+1,cmp);//对输入的序列排序
for(i=1; i<=n; i++)
{
//离散化，把n个点按大小映射到1~n
//data[i].no是数在原序列中的下标
num[data[i].no]=i;//离散下标表示
}
ans=0;
for(i=1; i<=n; i++)
{
//n是总数，num[i]是原序列中的数离散化后的各个数
//getsum(num[i])表示比num[i]小的数的个数
//getsum(num[i])等于num[num[i]–lowbit(num[i])+1]+...+num[num[i]]
update(num[i],1);
ans+=i-getsum(num[i]);
}
cout<<ans<<endl;
}
}
代码二：先求和再更新
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 500005
int c[MAXN],n,num[MAXN];
struct Node
{
int val,no;
} data[MAXN];
bool cmp(Node a,Node b)
{
return a.val<b.val;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int v)
{
while(x<=n)
{
c[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
}
int getsum(int x)
{
int sum=0;
while(x)
{
sum+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return sum;
}
int main()
{
int i;
long long ans;
while(scanf("%d",&n),n)
{
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=0; i<n; i++)
{
scanf("%d",&data[i].val);
data[i].no=i;//保存每个数输入时的下标
}
sort(data,data+n,cmp);//对输入的序列排序
for(i=0; i<n; i++)
{
//离散化，把n个点按大小映射到1~n
//data[i].no是数在原序列中的下标
num[data[i].no]=i+1;//离散下标表示
}
ans=0;
for(i=0; i<n; i++)
{
//n是总数，num[i]是原序列中的数离散化后的各个数
//getsum(n)是数在原序列中的下标
//getsum(num[i])表示比num[i]小的数的个数
//getsum(num[i])等于num[num[i]–lowbit(num[i])+1]+...+num[num[i]]
ans+=(getsum(n)-getsum(num[i]));
update(num[i],1);
}
cout<<ans<<endl;
}
}
转载：
树状数组，具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.
算法的大体流程就是：
1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，
2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。
算法详细解释：
1.解释为什么要有离散的这么一个过程？
刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。
还有只有500000个数字，何必要离散化呢？
刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，
用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，
不是单纯的建立在输入数组之上。
比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，
所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。
这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，
使得离散化的结果可以更加的密集。
2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？
离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；
因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；
而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；
①当然用map可以建立，效率可能低点；
②这里用一个结构体
struct Node
{
int v,ord;
}p[510000];和一个数组a[510000];
其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；
此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；
for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;
然后a数组就存储了原来所有的大小信息；
比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；
具体的过程可以自己用笔写写就好了。
3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？
如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，
每插入一个数， 统计比他小的数的个数，
对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),
其中 i 为当前已经插入的数的个数，
getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,
i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数
但如果数据比较大，就必须采用离散化方法
假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};
在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。
1，输入5， 调用upDate(5, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
0 0 0 0 1
计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，
现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。
2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 1
计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，
现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。
3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 0 1
计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，
现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。
4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，
现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。
5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，
现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。
6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数
分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),
后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()
外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).
最后总的还是O(NlogN).