从阶乘递归到subset题解的递归思想扩展

题目：LintCode/LeetCode

给定一个含不同整数的集合，返回其所有的子集.如果 S = [1,2,3]，有如下的解：
[
  [3],
  [1],
  [2],
  [1,2,3],
  [1,3],
  [2,3],
  [1,2],
  []
]

求不同元素集合的全部子集问题，虽然网上有各种参考代码，但是从代码反过来去思考作者的思路很难。所以我一直认为代码应该是写给人看的，不应该过于追求代码简洁。

对于求子集问题，网络上AC的答案很多，解题方法有大致三种（推酷链接）。对于其中的递归解法代码，我是看了很久不得要领，于是弃之，转身自己琢磨。

自己独立思考了一个礼拜，从求阶乘的基本递归操作一步步引申出本题的一个解法。所以写本文的目的是想帮助更多的人，能从一个最基本的阶乘的递归去完成求子集的递归。

递归思想的深入应用

首先，我们求 n 的阶乘，很简单。

int myFun(int n){
    if( n == 1 || n == 0){          //退出条件
        return 1;
    }
    //将未知递归结果作为已知变量使用
    int lastResult = myFun(n-1);
    return n * lashResult ;     

}

递归有几个要素：
1. 退出条件
2. 参数变化
3. 递推公式
对应的，在阶乘中分别是
1. n是1或0
2. n每次减小1
3. (n的阶乘) = n* (n-1的阶乘)

然后，我们再去思考求子集问题。

[1,2,3]的子集：[ [], [1], [2], [1,2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3] ]
[1,2]   的子集：[ [], [1], [2], [1,2] ]
[1]      的子集：[ [], [1] ]

求123的子集的过程就是：[1,2]的子集里每个元素末尾加3，再并上原来的[1,2]。
抽象下就是：对前一个元素的结果进行处理即得到当前元素的结果。
类似于：
求10的阶乘的过程就是：9的阶乘乘以10
抽象下就是：对9的结果进行处理即为10的结果。

为了求[1,2,3]的子集，我们需要求[1,2]的子集，为了求[1,2]的子集，又需要求[1]的子集，这样不断的递归深入将集合缩小，直到集合只剩下一个元素，此时 [1] 的子集就只有[ [], [1] ] （空集和1本身），同时这时也达到退出条件，递归带着[1]的子集返回，依次返回计算出[1,2]的子集，[1,2,3]的子集。

求子集递归的要素：
1. 退出条件：当源集合元素个数为1
2. 参数变化：求子集的源集合依次缩小1个元素
3. 递推公式：[1,2,3]的子集是[1,2]每个子集添加3，然后并上原[1,2]子集

于是，代码会类似求 n 的阶乘：

//source: vector<int> [1,2,3]
//ind : source的下标
//call : subsetHelper(source, source.size()-1)
vector<vector<int>> subsetHelper(vector<int>& source, int ind){

    vector<int> subset;
    vector<vector<int>> result;

    //退出条件：问题缩减至求仅含单个元素集合的子集
    if (ind == 0) {
        subset.push_back(source[0]);//self
        result.push_back(subset);   //null set
        result.push_back(subset);
        return result;
    }


    //参数变化：ind-1缩小需要求子集的集合直至只剩一个元素
    result = subsetHelper(source, ind - 1);


    //递推公式：下面是将上次递归结果运用到递推公式
    vector<vector<int>> ori = result;

    //递推公式步骤1：对[1,2]的每个子集添加3
    int i = 0;
    for ( i = 0; i < result.size(); i++) {
        result[i].push_back(source[ind]);
    }

    //递推公式步骤2：将[1,2]的子集和加3后的子集合并
    result.insert(result.end(), ori.begin(), ori.end());

    return result;

}

为了代码清晰阅读性高，上面是最原始的代码。下面是整理后的代码（将返回vector改为传引用减少复制）。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;


void subsetHelper(vector<int>& source, int ind, vector<vector<int>>& result){

    vector<int> subset;
    //1. 退出：当集合只有一个元素时
    //2. ［1，2］的每个子集都添加［3］
    //3. ［1，2］的子集与加3后的子集合合并

    //1
    if (ind == 0) {
        result.push_back(subset);   //add null set
        subset.push_back(source[0]);
        result.push_back(subset);
        return ;
    }

    subsetHelper(source, ind - 1, result);

    vector<vector<int>> ori = result;//复制集合

    //2
    int i = 0;
    for ( i = 0; i < result.size(); i++) {
        result[i].push_back(source[ind]);
    }

    //3
    result.insert(result.end(), ori.begin(), ori.end());

}

int main()
{
    vector<int> source;
    source.push_back(1);
    source.push_back(2);
    source.push_back(3);
    vector<vector<int>> result;

    //求[1,2,3]的子集
    subsetHelper(source, (int)source.size() -1, result);

    //打印结果
    for (int j = 0; j < result.size(); j++) {
        for (int i = 0; i < result[j].size(); i++) {
            cout<<result[j][i];
        }
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}

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