容斥原理-shuoj—小明系列之高中时光

Description

小明是一个聪明的小孩，虽然初中没有前三年学习成绩都很差。但是凭借这中考前最后几个月的冲刺还是考进了一所离家里比较近的普通高中。刚进入高中小明对课堂上老师讲授的问题依然没有什么兴趣。但是小明的聪明头脑依然不会停止转动。平时只要一闲下来就会去思考一些有趣的数学问题。今天小明学校开运动会，小明和他的同学们都坐在操场上观看开幕仪式。爱思考的小明又闲不住了，正好小明身边有k个石子，小明又在地板上画了一个m行n列的矩形网格，问题是有多少种方法可以将这k个石子放进网格里？现在要你写程序计算这个问题，看看你能不能借助计算机的力量算的比小明快。每个格子最多放一个石子，所有的石子必须用完，另外小明为了加大难度又加了一个条件：第一行、最后一行、第一列、最后一列都得有石子。

Input

输入第一行为数据组数T（T<=50）,每组数据包含三个整数m,n,k（2<=m,n<=20,k<=500）。输入数据至文件结尾。

Output

对于每组数据输出一行，方案总数除以1000007的余数。

Sample Input

22 2 12 3 2

Sample Output

02

题解：

容斥原理（p(A+B) = p(A) + P(B) - P(AB)）  （百度链接，点击打开链接）。

组合数 （百度链接 点击打开链接）

本题主要运用了容斥原理和求组合数（组合数链接，点击打开链接）。

现在具体分析这道题。

四个边上都有点的组合  =  总组合数  -  四个边中至少有一个边没有点的组合数。

将问题转化成 求：四个边中至少有一个边没有点的组合数

用数组 dp[ i ][ j ]来保存组合数C（i  ,  j）。

由容斥原理：

设A=  上边没点

    B = 下边没点

    C = 左边没点

    D = 右边没点

四个边中至少有一个边没有点  =  A + B +  C  + D -AB - AC - AD  - BC - BD  -CD + ABC + ABD + ACD + BCD - ABCD

分别求出上述独立事件的组合数即为最终结果。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1000007;
long long dp[405][405];

//将组合数打表
void com(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0] = 1;
    dp[1][0] = 1;
    dp[1][1] = 1;
    for(int i = 2;i<401;i++){
        for(int j = 0;j<=i;j++){
            if(j == 0||j == i)dp[i][j] = 1;
            else dp[i][j] = (dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j])%mod;
        }
    }
}
int main(){
    com();
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        int m,n,k;
        cin>>m>>n>>k;
         if(k<2||k>m*n)
        {
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
      long long sum;
      sum = (dp[n*m][k] - 2*dp[(n-1)*m][k] - 2*dp[n*(m-1)][k]+mod)%mod;
      while(sum<0)sum+=mod;
      sum = (sum + dp[(n-2)*m][k] + dp[(m-2)*n][k] + 4 * dp[(n-1)*(m-1)][k])%mod;
      while(sum<0)sum+=mod;
      sum = (sum - 2*dp[(n-2)*(m-1)][k] - 2*dp[(m-2)*(n-1)][k]+mod)%mod;
      while(sum<0)sum+=mod;
      sum = (sum + dp[(n-2)*(m-2)][k])%mod;
      while(sum<0)sum+=mod;
        cout<<sum<<endl;
    }

谢谢！