ZOJ 3497 Mistwald【矩阵快速幂】【图论】

题目链接

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4320

思路

题意是给你一张图，起点是1，终点是m*n，一旦走到终点就立马停止不能再走了，问你可不能正好P步到达终点。可能输出maybe，一定输出true，不可能输出false。

这里要用到离散数学的一个定理，就是一张图的邻接矩阵A，P次方后得到的邻接矩阵 AP 中的元素 aij 表示从i到j有几条长度为P的通路。因为如果 aik=1 ， bkj=1 ，那么 cij=aik×bkj=1 ，和floyd有点像。

所以对邻接矩阵求P次幂，看(1,m*n)有没有值，如果没有肯定是false，如果有再看(1,1~m*n-1)，全为0就是true，否则就是maybe。

然而这题有点特殊，就是走到终点后不能走了，也就是从终点出发的路数永远为0，那么直接把矩阵的最后一行清零即可。

然后直接求P次方肯定超时，P有100,000,000呢，所以用到了快速幂。所谓快速幂就是把P化成二进制，然后按每一位的权值来求次方，可以优化到 log2P ，再加上矩阵乘法本身的 N3 ，总时间复杂度为 (m∗n)3×log2P ，其中P最大 109 ，m*n最大25，完全可以承受。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50;
struct matrix
{
    int mat[N][N];
    matrix(void)
    {
        memset(mat,0,sizeof mat);
    }
    matrix friend operator * (matrix a, matrix b)
    {
        int n=N;
        matrix ans;
        for(int i=0 ; i<n ; ++i)
        {
            for(int j=0 ; j<n ; ++j)
            {
                int sum=0;
                for(int k=0 ; k<n ; ++k)
                {
                    sum+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                }
                ans.mat[i][j]=sum;
            }
        }
        return ans;
    }
};
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int m,n;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        getchar();
        matrix z;
        for(int i=0 ; i<n ; ++i)
        {
            for(int j=0 ; j<m ; ++j)
            {
                int a,b,c,d,e,f,g,h;
                scanf("((%d,%d),(%d,%d),(%d,%d),(%d,%d))",&a,&b,&c,&d,&e,&f,&g,&h);
                a--;b--;c--;d--;e--;f--;g--;h--;
                getchar();
                z.mat[i*m+j][a*m+b]=1;
                z.mat[i*m+j][c*m+d]=1;
                z.mat[i*m+j][e*m+f]=1;
                z.mat[i*m+j][g*m+h]=1;
            }
        }
        for(int j=0 ; j<n*m ; ++j)//最后一行清零 
            z.mat[n*m-1][j]=0;
        int q;
        scanf("%d",&q);

        while(q--)
        {
            int t;
            scanf("%d",&t);
            matrix zz,ans;
            zz=z;
            for(int i=0 ; i<n*m ; ++i)//初始化为单位矩阵 
                ans.mat[i][i]=1;
            while(t)
            {
                if(t&1)
                {
                    ans=ans*zz;
                }
                zz=zz*zz;
                t>>=1;
            }
            if(ans.mat[0][m*n-1]==0)
            {
                printf("False\n");
            }
            else
            {
                bool flag=0;
                for(int j=0 ; j<m*n-1 ; ++j)
                {
                    if(ans.mat[0][j])
                    {
                        flag=1;
                        break;
                    }
                }
                if(flag)printf("Maybe\n");
                else printf("True\n");
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}