在数论,对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。它又称为Euler's totient、function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。
φ函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3,那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
欧拉函数还有这样的性质:
设a为N的质因数,若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a;若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有:E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
欧拉公式的引伸:小于或等于n的数中,与n互质的数的总和为:φ(x) * x / 2。(n>1)
#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; int euler(int n) { int cnt=n; int m=(int)sqrt(n+0.5); for(int i=2;i<=m;i++) if(n%i==0) { cnt=cnt/i*(i-1); /// x-x/p=(x*p)/p-x/p=(x*p-x)/p=x*(p-1)/p=x/p*(p-1) while(n%i==0) n/=i; } if(n>1) cnt=cnt/n*(n-1); return cnt; } int main() { int i; for(i=1;i<=100;i++) cout<<i<<" "<<euler(i)<<endl; }φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数
int eular(int n) { int cnt=n; int i; for(i=2;i<=n;i++) if(n%i==0) { cnt-=cnt/i; // x-x/pn while(n%i==0) //求下个质因数 n/=i; } return cnt; }
#include<iostream> using namespace std; #define MAX 1000000 int phi[MAX]; void phi_table(int n,int *phi) { for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=0; phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) if(!phi[i]) for(int j=i;j<=n;j+=i) { if(!phi[j]) phi[j]=j; phi[j]=phi[j]/i*(i-1); } } int main() { int i,n; cin>>n; phi_table(n,phi); for(i=1;i<=n;i++) cout<<phi[i]<<endl; }