二分查找讲解
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很多书上都会讲到二分查找（数据结构与算法教材、《编程之美》、《编程珠玑》），这也是一个经典的面试题。尽管它很常见，大家也很熟悉，但是却不一定能够完美地写出来。今天自己整理了一下，把三种二分查找算法（找最后一次出现的某值v，找第一次出现的某值v和普通的二分查找）进行了梳理。
问题描述：有一个按非降序排列的有序数组a[0...n-1]和一个数v
1. 求数组a中最后一次出现的数v的下标
设l为左边界，h为右边界，mid =(l+h)/2，那么，根据mid的取值，分三种情况:
(1) a[mid] < v，说明v如果在数组中，应该出现在mid右侧，则调整左边界，l = mid + 1
(2) a[mid] > v，说明v如果在数组中，应该出现在mid左侧，则调整右边界，h = mid - 1
(3) a[mid] == v，中间值等于v，而要求的是最后一次出现的v。最后出现的v值一定在mid的右边或者就是mid位置的这个值，所以我们应该调整左边界，l = mid。
以上三步是循环体中的关键步骤，但容易出错的地方不在这三步中，而在于循环结束的条件。
为了更清楚地说明问题，下面讨论一下当循环体内l和h之间（包含l和h）最后只剩3个和2个元素时的情况，初始元素个数超过3个的最后都会转化为这两种情况之一。
只剩3个元素时，可能出现2中情况，一种是其中里面含有v，另一种是不含v。假设v = 2，那么含有v的可能出现以下几种情况:
(1) 若v只出现一次，可能出现的最终状态将如下图所示：
初始状态： 最终状态
，l = h
初始状态： 最终状态
这种情况需要特别注意，因为此时l = mid,h = l + 1, 如果继续循环，l和h的值将不会改变
初始状态： 最终状态
，l = h
(2)若v出现两次，可能出现的最终状态如下：
初始状态： 最终状态
， h = l + 1
初始状态： 最终状态
，h = l + 1，这种情况也很特殊，因为此时l和h位置的值都是v。
(3)若v出现三次，可能出现的最终状态如下：
初始状态： 最终状态
，h = l + 1，此时l和h位置的值也都是v
如果数组中不含v，那么可能会出现以下两种情况：
(1) 中间元素小于v
初始状态： 最终状态
， l = h
(2) 中间元素大于v
初始状态： 最终状态
, l = h
若数组中只剩两个元素，那么这两个元素中可能含v，也可能不含v。如果含有v，有两种情况：
(1) a[l] = v
初始状态： 最终状态
， h = l + 1
(2) a[l] != v
初始状态： 最终状态
， l = h
如果两个元素中不含v，也有两种情况：
(1) a[l] < v
初始状态： 最终状态
， l = h
(2) a[l] > v
初始状态： 最终状态
h = l - 1
从上面的分析可以得出结论，循环结束的条件应该是 l + 1< h，结束以后，需要检查l + 1位置的值是否和v相等，相等，则l + 1是所求的位置，否则，检查l位置的值是否和v相等，若相等，则l是所求的位置，否则，说明原数组中不存在v，返回-1。
代码如下：
/*查找给定非递减序列中给定关键字的最后一次出现的位序*/
int binarySearchLast(int *a, int l, int h, int key){
if(!a || l>h)
return -1;
int mid;
while(l+1 < h){ //循环结束条件
mid=(l+h)/2;
if(a[mid] > key)
h=mid-1;
else if(a[mid] < key)
l=mid+1;
else
l=mid;
}
if(a[l+1] == key)
return l+1;
else if(a[l] == key)
return l;
else
return -1;
}
2.查找给定非递减序列中给定关键字第一次出现的位序，如有返回位序，否则返回-1.
代码如下：
/*找给定非递减序列中给定关键字第一次出现的位序*/
int binarySearchFirst(int *a, int l, int h,int key){
if(!a || l>h)
return -1;
int mid;
while( l< h){ //循环结束条件
mid=(l+h)/2;
if(a[mid] > key)
h=mid-1;
else if(a[mid] < key)
l=mid+1;
else
l=mid;
}
if(a[l] == key)
return l;
else
return -1;
}
标准二分非递归查找。
代码如下：
int binarySearch(int *a, int l, int h,int key){
if(!a || l>h)
return -1;
int mid;
while( l< h){ //循环结束条件
mid=(l+h)/2;
if(a[mid] == key)
return mid;
else if(a[mid] > key)
h=mid-1;
else
l=mid+1;
}
if(a[l] == key)
return l;
else
return -1;
}
另外有两个相似的查找算法，给定一个非递减有序数组a，求一个最小的i使得a[i]大于key，若找不到则返回-1.
贴出代码：
/*查找给定非递减序列中第一个大于的给定值*/
int findSmallestBiggerNumber(int *a, int l, int h, int key){
if(!a || l>h)
return -1;
int mid;
while(l < h){
mid=(l+h)/2;
if(a[mid] <= key)
l=mid+1;
else
h=mid;
}
if(a[l] > key)
return l;
else
return -1;
}
/*给定一个非降序数组arr, 求一个最大的i使得arr[i]小于v，若找不到则返回-1*/
int findLargetSmallerNumber(int *a, int l, int h, int v)
{
if(!a || l > h)
return -1;
if(l == h)
{
if(a[l] < v)
return l;
else
return -1;
}
int mid;
while (l + 1 < h)
{
mid = l + (h-l)/2;
if(a[mid] >= v)
h = mid - 1;
else
l = mid;
}
if(a[l+1] < v)
return l+1;
if(a[l] < v)
return l;
return -1;
}
原文地址：http://www.cnblogs.com/segeon/archive/2012/07/27/2612361.html