数据结构-树状数组讲解

树状数组的作用：树状数组是对一个数组 改变某个元素和 求和比较实用的数据结构。其中”求和，更改“两部操做的时间复杂度都是O(log(n))，n为数组元素个数。

在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

当n非常大时，程序会运行得非常缓慢  因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常 高 。

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为了便于理解，我们看下图

其中A[]代表的是原有数组，而C[]就是树状数组。C[]存的是A[i-lowbit(i)+1]~A[i]的和。这里lowbit(i)代表的是i的二进制表示中从右往左第一个1对应的值例：lowbit(6)的值为2.{此处也可以真么理解： C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，   同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。 }所以，我们在修改A[i]的时候可以从C[i]依次向上更改调整这条路上的所有C[]值， 这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。  另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

         

     另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

          不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,

          因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

          接着，我们考察这两种操作下标变化的规律：

          首先看修改操作：

          已知下标i，求其父节点的下标。
          我们可以考虑对树从逻辑上转化：

         如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。

         有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。

         因而父节点下标 p=i+2^k  (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)

         即  p = i + i&(i^(i-1)) 。

         接着对于求和操作：

         因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。

         即  p = i - i&(i^(i-1)) 。

        

         至此，我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。

         在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】

  求lowbit(i)

int Lowbit(int t)  {      return t & ( -t );  }

             
  求前n项和：

int Sum(int i)  {      int sum = 0;      while(i > 0)      {          sum += c[i];          i -= Lowbit(i);      }      return sum;  }

 对某个元素进行加法操作： 

void add(int i , int d) 
{ 
    while(i<= n) 
    { 
          c[i] += d; 
           i+= Lowbit(i); 
    } 
} 

参考： http://www.cppblog.com/Ylemzy/articles/98322.html