初识EM algorithm

很多书阐述了EM algorithm的原理，直接点可以在维基百科上找到它的基本情况：

http://en.wikipedia.org/wiki/Expectation%E2%80%93maximization_algorithm。

EM算法分两步走即E步和M步，和很多书本和文章中一样，维基中只给出了核心结论，至于其中的数理逻辑关系并没有给出，需要探究EM算法的推导过程可以参考JerryLead的博客内容，博主整理翻译了Standford的课件：

http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html

概况起来，EM(Expectation Maximization)是一种迭代的方法，主要是用来求后验分布的众数，每一步迭代都由E(Expectation)和M(Maximization)组成。

1.E步、M步具体思路如下：

一般情况下，我们将给定y条件的x的密度函数记作，根据条件密度函数公式，我们有

                                                              （1）

上式的样本空间为X,y通常是给定样本，对于上式我们取对数，可以得到

                                                                             （2）

其中

，=，

对于(2)式等式两边求期望，等式依然成立。期望要求知道给定y的x的条件密度函数，增加样本的条件密度函数

                                                                    （3）

上式中

由Jensen's不等式（详见JerryLead博文）我们知道，在'时取到最大值，此时同样有

                                                                   （4）

（4）式是EM算法的核心等式，该式子是迭代的最终结果。每一步迭代后都能提高后验分布密度函数值，迭代到函数收敛为止。

2.EM算法迭代过程

假设当前是p次循环

a.E步，首先计算

   

b.M步，找到使上式最大化得到

c.返回a,直至方程收敛

3.EM算法的应用 

 EM算法主要用于混合分布的参数估计、缺失数据等，见链接：

http://www2.math.umd.edu/~slud//s705/LecNotes/Sec6NotF09.pdf

http://www.stat.sc.edu/~grego/courses/stat740/normem.txt