UVA 11478（差分约束系统）

题目链接：UVA 11478

解题思路：
题目要求使所有的边权值为正且尽量大，可以很自然地想到最大值最大化的经典解法——二分法。我们需要二分地去寻找答案，判断答案是否合理可以通过构建差分约束系统解决。
我们假设在第 i 个点上进行的权值操作为sum[i]，那么所有 i 的出边都增加sum[i]，入边都减少sum[i]，因为每条边本身有权值，我们要满足权值增减之后所有边权为正，即满足等式sum[i]-sum[j]+w[i][j]>0，我们假设答案为ans，则等式变成sum[i]-sum[j]+w[i][j]>=ans，即sum[j]<=sum[i]+w[i][j]-ans。
之后我们每次设定一个答案ans，并以w[i][j]-ans为i与j的边权构建差分约束系统，判断是否右界。如果没有正解，即ans=1系统无解，则无题目要求答案；如果权值可以至少为当前权值的最大值加一，则系统有有穷大解。

代码：

#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 505
#define maxm 3705
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int m,n,len,d[maxn],inque[maxn],cnt[maxn],head[maxm];
struct edge{
    int v,w,next;
}e[maxm];

void addEdge(int u,int v,int w){
    e[len].v=v,e[len].w=w,e[len].next=head[u];
    head[u]=len++;
}

void init()
{
    len=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}

bool spfa(int src)
{
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    memset(d,INF,sizeof(d));
    stack<int> s;
    d[src]=0,inque[src]=1,cnt[src]=1,s.push(src);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]=0,inque[i]=1,cnt[i]=1,s.push(i);
    while(!s.empty())
    {
        int tmp=s.top();
        s.pop(),inque[tmp]=0;
        for(int i=head[tmp];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int index=e[i].v,w=e[i].w;
            if(d[index]>d[tmp]+w)
            {
                d[index]=d[tmp]+w;
                if(!inque[index])
                {
                    inque[index]=1,s.push(index),cnt[index]++;
                    if(cnt[index]>n)
                        return 0;
                }
            }           
        }
    }
    return 1;
}

bool solve(int val)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        e[i].w-=val;
    bool res=spfa(n+1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        e[i].w+=val;
    return res;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        init();
        int x,y,w;
        int minw=0,maxw=-INF;
        while(m--)
        {
            scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
            maxw=max(maxw,w);
            addEdge(x,y,w);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            addEdge(n+1,i,0);

        if(solve(maxw+1))
            printf("Infinite\n");
        else if(!solve(1))
            printf("No Solution\n");
        else
        {
            int low=1,mid,high=maxw;
            while(low<high)
            {
                mid=(low+high)/2+1;
                if(solve(mid))
                    low=mid;
                else
                    high=mid-1;
            }
            printf("%d\n",low);
        }
    }

    return 0;
}