数据结构-图
这篇主要介绍图在计算机中存储形式， 以及在某些算法领域中对图的相关应用。本篇涉及到的知识点也比较多在图的遍历中介绍了深度优先遍历、广度优先遍历；在最小生成树节介绍了普利姆算法和克鲁斯卡尔算法；最短路径中介绍了迪杰斯特拉算法、佛洛依德算法；本篇后边还介绍了拓扑排序以及关键路径等知识点。 本篇对算法进行了描述和实现， 在实现代码的同时添加了流程图。相关代码源码请查看文章最后。本篇最后的算法描述和流程图以及代码实现是重点，如果对本篇感兴趣一定要通过该部分来巩固数据机构。
图
1 图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通过表示为G(V,E)，其中，G标示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
无边图：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无项边（Edge），用序偶对(Vi,Vj)标示。
对于下图无向图G1来说，G1=(V1, {E1})，其中顶点集合V1={A,B,C,D}；边集合E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}:
G1
有向图：若从顶点Vi到Vj的边是有方向的，则成这条边为有向边，也称为弧（Arc）。用有序对（Vi，Vj）标示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。如果任意两条边之间都是有向的，则称该图为有向图。
有向图G2中，G2=（V2,{E2}），顶点集合（A,B,C,D）,弧集合E2={<A,D>,{B,A},<C,A>,<B,C>}.
G2
权（Weight）：有些图的边和弧有相关的数，这个数叫做权（Weight）。这些带权的图通常称为网（Network）。
图的定义和术语总结：
2 图的抽象数据类型
1、 图的存储结构
图有两种存储结构。邻接矩阵和邻接表
2.1 邻接矩阵
邻接矩阵：图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一位数组存储图顶点的信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中边或者弧的信息。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
实例如下，左图是一个无向图。右图是邻接矩阵表示：
邻接矩阵代码存储结构：
C++代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <curses.h>
typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
#define MAXVEX 100 //最大顶点数，应由用户定义
#define INFINITY 65535 //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边
int numVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
//定位
int locates(Graph *g, char ch)
{
int i = 0;
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
if(g->vexs[i] == ch)
{
break;
}
}
if(i >= g->numVertexes)
{
return -1;
}
return i;
}
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
void CreateGraph(Graph *g)
{
int i, j, k, w;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
#ifdef DEBUG
printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
#endif
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
g->vexs[i] = getchar();
while(g->vexs[i] == '\n')
{
g->vexs[i] = getchar();
}
}
#ifdef DEBUG
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("%c ", g->vexs[i]);
}
printf("\n");
#endif
for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
{
for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
{
g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
}
}
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
char p, q;
printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");
p = getchar();
while(p == '\n')
{
p = getchar();
}
q = getchar();
while(q == '\n')
{
q = getchar();
}
scanf("%d", &w);
int m = -1;
int n = -1;
m = locates(g, p);
n = locates(g, q);
if(n == -1 || m == -1)
{
fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
return;
}
//getchar();
g->arc[m][n] = w;
g->arc[n][m] = g->arc[m][n]; //因为是无向图，矩阵对称
}
}
//打印图
void printGraph(Graph g)
{
int i, j;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
printf("%d ", g.arc[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
int main(int argc, char **argv)
{
Graph g;
//邻接矩阵创建图
CreateGraph(&g);
printGraph(g);
return 0;
}
</curses.h></stdlib.h></stdio.h>无向网图的创建代码，时间复杂度为O{n + n2 + e}。
2.2 邻接表
用数组和链表结合的存储方式来标示图的方法称为邻接表。
邻接表处理思路
邻接表的处理方法是这样的：
（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。
（2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。
从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。
邻接表存储代码结构
/* 邻接表表示的图结构 */
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define DEBUG
#define MAXVEX 1000 //最大顶点数
typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
typedef struct EdgeNode //边表结点
{
int adjvex; //邻接点域，存储该顶点对应的下标
EdgeType weigth; //用于存储权值，对于非网图可以不需要
struct EdgeNode *next; //链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode //顶点表结构
{
VertexType data; //顶点域，存储顶点信息
EdgeNode *firstedge; //边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes, numEdges; //图中当前顶点数和边数
}GraphList;
int Locate(GraphList *g, char ch)
{
int i;
for(i = 0; i < MAXVEX; i++)
{
if(ch == g->adjList[i].data)
{
break;
}
}
if(i >= MAXVEX)
{
fprintf(stderr,"there is no vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//建立图的邻接表结构
void CreateGraph(GraphList *g)
{
int i, j, k;
EdgeNode *e;
EdgeNode *f;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);
#ifdef DEBUG
printf("%d,%d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
#endif
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("请输入顶点%d:\n", i);
g->adjList[i].data = getchar(); //输入顶点信息
g->adjList[i].firstedge = NULL; //将边表置为空表
while(g->adjList[i].data == '\n')
{
g->adjList[i].data = getchar();
}
}
//建立边表
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");
char p, q;
p = getchar();
while(p == '\n')
{
p = getchar();
}
q = getchar();
while(q == '\n')
{
q = getchar();
}
int m, n;
m = Locate(g, p);
n = Locate(g, q);
if(m == -1 || n == -1)
{
return;
}
#ifdef DEBUG
printf("p = %c\n", p);
printf("q = %c\n", q);
printf("m = %d\n", m);
printf("n = %d\n", n);
#endif
//向内存申请空间，生成边表结点
e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(e == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
return;
}
//邻接序号为j
e->adjvex = n;
//将e指针指向当前顶点指向的结构
e->next = g->adjList[m].firstedge;
//将当前顶点的指针指向e
g->adjList[m].firstedge = e;
f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(f == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
return;
}
f->adjvex = m;
f->next = g->adjList[n].firstedge;
g->adjList[n].firstedge = f;
}
}
void printGraph(GraphList *g)
{
int i = 0;
#ifdef DEBUG
printf("printGraph() start.\n");
#endif
while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)
{
printf("顶点:%c ", g->adjList[i].data);
EdgeNode *e = NULL;
e = g->adjList[i].firstedge;
while(e != NULL)
{
printf("%d ", e->adjvex);
e = e->next;
}
i++;
printf("\n");
}
}
int main(int argc, char **argv)
{
GraphList g;
CreateGraph(&g);
printGraph(&g);
return 0;
}
对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。
本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。
三 图的遍历
图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。
对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。
3.1 深度优先遍历
深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。
它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。
A B C D E F G H I,访问到G后五路可走，但是还有分支没有走过，于是回溯访问。
我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。
#define MAXVEX 100 //最大顶点数
typedef int Boolean; //Boolean 是布尔类型，其值是TRUE 或FALSE
Boolean visited[MAXVEX]; //访问标志数组
#define TRUE 1
#define FALSE 0
//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(Graph g, int i)
{
int j;
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[i]); //打印顶点，也可以其他操作
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
{
DFS(g, j); //对为访问的邻接顶点递归调用
}
}
}
//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(Graph g)
{
int i;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE; //初始化所有顶点状态都是未访问过状态
}
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i]) //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
{
DFS(g,i);
}
}
}如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下
//邻接表的深度递归算法
void DFS(GraphList g, int i)
{
EdgeNode *p;
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g->adjList[i].data); //打印顶点，也可以其他操作
p = g->adjList[i].firstedge;
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex])
{
DFS(g, p->adjvex); //对访问的邻接顶点递归调用
}
p = p->next;
}
}
//邻接表的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphList g)
{
int i;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i])
{
DFS(g, i);
}
}
}
对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。3.2 广度优先遍历
广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了（一层一层遍历）。
邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。
//邻接矩阵的广度遍历算法
void BFSTraverse(Graph g)
{
int i, j;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环
{
if(!visited[i]) //若是未访问过
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i); //将此结点入队列
while(!QueueEmpty(q)) //将队中元素出队列，赋值给
{
int m;
DeQueue(&q, &m);
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
//判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过
if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])
{
visited[j] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[j]);
EnQueue(&q, j);
}
}
}
}
}
}对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下
//邻接表的广度遍历算法
void BFSTraverse(GraphList g)
{
int i;
EdgeNode *p;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i])
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[i].data); //打印顶点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i);
while(!QueueEmpty(q))
{
int m;
DeQueue(&q, &m);
p = g.adjList[m].firstedge; 找到当前顶点边表链表头指针
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex])
{
visited[p->adjvex] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);
EnQueue(&q, p->adjvex);
}
p = p->next;
}
}
}
}
}参考
1. http://blog.chinaunix.net/uid-21813514-id-3866951.html
2. http://www.cnblogs.com/w-wanglei/p/figure.html