快速幂取模

问题定义：

数论中经常出现的一个问题是对一个数的幂取模，也称为模取幂，即求a^b mod n。如果计算量较小，可以直接计算出a^b的值，再作模n运算。但是如果a和b的值都非常大，a^b的值用计算机难以表示，或者即使可以用大数运算的方式用计算机表示，也会因为耗时过长难以应用。基于模运算的基本性质，可以设计出一种算法，快速求解这一问题。这种方法为“快速幂取模”，也称为“反复平方法“。

算法原理：

算法基础在于模运算的基本性质
(a+(*)b)%n=(a%n+(*)b%n)%n
(a-b)%n=(a%n-b%n+n)%n
(a*b)%n=(a%n*b%n)%n

算法实现的原理是：

算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下：

int modexp_simple(int a,int b,int n)     
{    
    int ret = 1;
    while (b--)
    {
        ret = a * ret % n;
    }
    return ret;
}  

算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)2^n) a^(p(n-1)2^(n-1)) …* a^(p(1)2) a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） = a^0 = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2
（这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

实例代码：递归

//计算a^bmodn     
int modexp_recursion(int a,int b,int n)     
{    
    int t = 1;

    if (b == 0)
        return 1;

    if (b == 1)
         return a%n;

    t = modexp_recursion(a, b>>1, n);

    t = t*t % n;

    if (b&0x1)
    {    
        t = t*a % n;
    }

    return t;
 } 

实例代码2：非递归优化

#include <iostream> 
using namespace std;   

//计算a^bmodn 
int modexp(int a,int b,int n)   
{   
    int ret=1;   
    int tmp=a;   
    while(b)   
    {   
       //基数存在 
       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;   
       tmp=tmp*tmp%n;   
       b>>=1;   
    }   
    return ret;   
}   

int main()   
{   
    cout<<modexp(2,10,3)<<endl;   
    return 0;   
}