用于多个比较的方差分析（ANOVA）
Source: http://www.r-bloggers.com/analysis-of-variance-anova-for-multiple-comparisons/
用于多个比较的方差分析（ANOVA：Analysis of variance）
ANOVA模型能用于比较多个群组之间的均值，这里使用了参数（parametric）的方法，也就是假设这些群组符合Gaussian分布。以下为例子：
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超市连锁店的经理想看看4个店面的耗电量（千瓦）是否相等。他在每个月底收集数据，持续了6个月，结果如下：
Store A: 65, 48, 66, 75, 70, 55
Store B: 64, 44, 70, 70, 68, 59
Store C: 60, 50, 65, 69, 69, 57
Store D: 62, 46, 68, 72, 67, 56
为了使用ANOVA来验证，我们必须首先验证homoskedasticity，也就是方差的同质性检验。R软件提供了两种检验方法：Bartlett检验，和Fligner-Killeen检验。
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我们先看Bartlett检验。首先我们创建4个向量，然后再组合成一个向量：
a = c(65, 48, 66, 75, 70, 55) b = c(64, 44, 70, 70, 68, 59) c = c(60, 50, 65, 69, 69, 57) d = c(62, 46, 68, 72, 67, 56) dati = c(a, b, c, d)
另外我们再创建一个对应用于标示dati分组的4个水平的factor：
groups = factor(rep(letters[1:4], each = 6))
这样我们就可以进行Bartlett test了：
bartlett.test(dati, groups)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: dati and groups
Bartlett's K-squared = 0.4822, df = 3, p-value = 0.9228
这个函数得到了统计检验的值（K squared）和p-value。因为p-value > 0.05，所以我们可以说这些组的方差是同质的。另一方面，我们也可以比较Barlett的K-squared和查表的chi-square值，使用函数qchisq，其输入包括alpha值和自由度
qchisq(0.950, 3) [1] 7.814728
显然，这里的chi-squared 大于上面计算的Bartlett的K-squared，因此我们接受null hypothesis H0，即方差都是同质的。
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现在我们试着用Fligner-Killeen test来检测同质性。调用函数的方法和过程都类似：
a = c(65, 48, 66, 75, 70, 55)
b = c(64, 44, 70, 70, 68, 59)
c = c(60, 50, 65, 69, 69, 57)
d = c(62, 46, 68, 72, 67, 56)
dati = c(a, b, c, d)
groups = factor(rep(letters[1:4], each = 6))
fligner.test(dati, groups)
Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
data: dati and groups
Fligner-Killeen:med chi-squared = 0.1316, df = 3, p-value = 0.9878
这里的结论也与Bartlett test类似。
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已验证了4个群组的同质性，我们就可以来处理ANOVA模型了。首先拟合模型：
fit = lm(formula = dati ~ groups)
然后分析ANOVA模型：
anova (fit)
Analysis of Variance Table
Response: dati
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
groups 3 8.46 2.82 0.0327 0.9918
Residuals 20 1726.50 86.33
函数的输出为经典的ANOVA表，数据如下：
- Df = degree of freedom，自由度
- Sum Sq = deviance (within groups, and residual)，总方差和（分别有groups和residual的）
- Mean Sq = variance (within groups, and residual)，平均方差和（分别有groups和residual的）
- F value = the value of the Fisher statistic test, so computed (variance within groups) / (variance residual)，统计检验的值
- Pr(>F) = p-value
因为p-value大于0.05，我们接受null hypothesis H0，即4个样本的均值统计相等。我们也可以比较计算的F-vaue和查表的F-value：
qf(0.950, 20, 3) [1] 8.66019
查表的F-value大于之前计算的F-value，因此我们接受null hypothesis。