[HDU 4565] So Easy! （数学）

HDU - 4565
求 ⌈(a+b√)n⌉%m 的值，其中 0<N<231
这题有个取整，看起来似乎根本没法用快速幂，没法做
实际上需要一点数学技巧

特别注意到，题目提出了 (a−1)2<b<a2
令 Fn=(a+b√)n+(a−b√)n
由于刚刚提到的条件，所以 0<(a−b√)n<1
而展开这个式子，可以发现 b√ 的奇次幂全部消掉了
所以 Fn是一个整数，事实上， Fn=⌈(a+b√)n⌉
以上是这题最为关键的一步
然后我们要得到 Fn+1 ，可以给 Fn 乘上 (a+b√)+(a−b√)
化简完，可以得到 Fn+1=2a∗Fn−(a2−b)∗Fn−1
剩下的就很简单了，构造矩阵然后快速幂之

这题有一个坑点，就是求 F1和 F2的时候
最好用 ceil直接求，不要用转化后的式子
因为标程似乎就是 ceil求的，有精度误差
用没有误差的方式求，可能反倒会错

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Pow2(a) (a*a)

int MOD;

struct Matrix
{
    int siz;
    int n[5][5];
    Matrix(int tsiz=0):siz(tsiz){CLR(n);}

    void E(){CLR(n);for(int i=0; i<siz; i++) n[i][i]=1;}

    Matrix operator * (const Matrix &v) const
    {
        Matrix tem(siz);
        for(int i=0; i<siz; i++) for(int j=0; j<siz; j++) for(int k=0; k<siz; k++)
             tem.n[i][j]=(tem.n[i][j]+(LL)n[i][k]*v.n[k][j]+MOD)%MOD;
        return tem;
    }
};

int A,B,N;

int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d%d", &A, &B, &N, &MOD))
    {
        int F1=(LL)ceil(A+sqrt(B))%MOD;
        int F2=(LL)ceil((A+sqrt(B))*(A+sqrt(B)))%MOD;
        if(N==1) {printf("%d\n", F1);continue;}
        if(N==2) {printf("%d\n", F2);continue;}
        N-=2;
        Matrix ans(2),tem(2);
        ans.E();
        tem.n[0][0]=2*A;
        tem.n[0][1]=B-Pow2(A);
        tem.n[1][0]=1;
        tem.n[1][1]=0;
        while(N)
        {
            if(N&1) ans=ans*tem;
            tem=tem*tem;
            N>>=1;
        }
        printf("%d\n", ((LL)ans.n[0][0]*F2+(LL)ans.n[0][1]*F1)%MOD);
    }
    return 0;
}