完全二叉树和堆排序
堆排序算法复杂度虽然也是O(nlgn)，但其常数因子较大，而且在实际测试中发现和快速排序、二路归并排序相比速度会慢不少，但堆有其独特的优势：
(1) 堆排序仅需要O(1)的空间，这是其他O(nlgn) 排序算法所没有的特点；
(2) 堆结构可以以O(1) 的代价取出最大值(最小值)，这在优先级队列中得到广泛应用，这些应用不需要完全排序，只需要“快速取出最值”，堆结构在插入、删除、修改时的复杂度均为O(lgn)，比直接使用链表要好(插入的复杂度为O(n))
堆排序中使用的结构就是完全二叉树，以下证明若干完全二叉树的性质。
结点高度：定义成从此结点到叶子结点的最长路径；可以证明，某结点的最左路径，必是最长路径，即如果结点序号为i，则i, i*2, i*2^2,....,i*2^h为其最长路径。
完全二叉树高度： 定义成完全二叉树根结点的高度，也是结点高度的最大值；
1. 证明完全二叉树高度为[log n] (下取整函数)
假设 n = 2^h + r，其中h>=0， 0<=r<2^h，则由完全二叉树的定义可知，此树的高度为h，而[log n]=[log(2^h + r)]正好等于h，故命题得证
2. 建堆的复杂度为O(n)
算法导论中有详细的证明，需要使用如下数学命题，数列{an}，其中an = nx^n，当|x|<1时，其和 S = x / (1-x)^2
以下使用等比数列简要证明
求S(n) = 1 * x + 2 * x^2 + ... + n * x^n，设G(n) = x + x^2 +x^3 +...+ x^n
=> S(n) – G(n) = x^2 + 2 * x^3 +...+(n-1) * x^n
=> (S(n) – G(n)) / x = x + 2 * x^2 +...+ (n-1) * x^(n-1)
=> (S(n) – G(n)) / x = S(n) – n * x^n
=> S(n) = (G(n) – n * x^(n+1)) / (1-x)
当|x|<1，n 趋向于无穷大时，G(n) 趋向于x / (1-x)，n * x^(n+1)趋向于0，故S = x / (1-x)^2
3. 最坏情况下，插入建堆的复杂度为O(nlgn)
对于大顶堆，最坏情况为升序排列的数列，除第一个元素外，每个元素都要作交换操作且交换到根结点，序号为i的元素，需要[lgi]次操作，因此对于n个元素，插入建堆的时间为S(n) = [lg1] + [lg2] + [lg3] +...+ [lgn]
S(n) < lg1 + lg2 + lg3 +...+ lgn =lg(n!) 根据stirling 公式，S(n) = O(nlgn)
S(n) > lg1/2 + lg2/2 + lg3/2 + ... +lgn/2 = lg(n!) – lg2^n = nlgn – n，即S(n) = Ω(nlgn)，命题得证
注意插入建堆和原有的建堆方式结果有可能不一样，对于大顶堆来讲，1、2、3就是一个反例