位运算的应用和分治法在二进制中的应用

位运算应用口诀
清零取数要用与，某位置一可用或
若要取反和交换，轻轻松松用异或

移位运算
要点 1 它们都是双目运算符，两个运算分量都是整形，结果也是整形。
     2 "<<" 左移：右边空出的位上补0，左边的位将从字头挤掉，其值相当于乘2。
     3 ">>"右移：右边的位被挤掉。对于左边移出的空位，如果是正数则空位补0，若为负数，可能补0或补1，这取决于所用的计算机系统。
     4 ">>>"运算符，右边的位被挤掉，对于左边移出的空位一概补上0。

位运算符的应用 (源操作数s 掩码mask)
(1) 按位与-- &
1 清零特定位 (mask中特定位置0，其它位为1，s=s&mask)
2 取某数中指定位 (mask中特定位置1，其它位为0，s=s&mask)
(2) 按位或-- |
    常用来将源操作数某些位置1，其它位不变。 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s|mask)
(3) 位异或-- ^
1 使特定位的值取反 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s^mask)
2 不引入第三变量，交换两个变量的值 (设 a=a1,b=b1)
    目标           操作              操作后状态
a=a1^b1         a=a^b              a=a1^b1,b=b1
b=a1^b1^b1      b=a^b              a=a1^b1,b=a1
a=b1^a1^a1      a=a^b              a=b1,b=a1

即
a  ^= b
b ^=  a
b ^= b
这样3步,即可交换两个数字
且没有占用空间.

二进制补码运算公式：
(看到这些功能,似乎没必要了解补码的原理)
-x = ~x + 1 = ~(x-1)
~x = -x-1
-(~x) = x+1
~(-x) = x-1
x+y = x - ~y - 1 = (x|y)+(x&y)
x-y = x + ~y + 1 = (x|~y)-(~x&y)
x^y = (x|y)-(x&y)
x|y = (x&~y)+y
x&y = (~x|y)-~x
x==y:    ~(x-y|y-x)
x!=y:    x-y|y-x
x< y:    (x-y)^((x^y)&((x-y)^x))
x<=y:    (x|~y)&((x^y)|~(y-x))
x< y:    (~x&y)|((~x|y)&(x-y))//无符号x,y比较
x<=y:    (~x|y)&((x^y)|~(y-x))//无符号x,y比较

应用举例
(1) 判断int型变量a是奇数还是偶数          
       a&1  =  0  偶数
       a&1  =  1  奇数
(2) 取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1   (先右移再与1)

(3) 将int型变量a的第k位清0，即a=a&~(1<<k)    (10000 取反后为00001 )

(4) 将int型变量a的第k位置1，即a=a|(1<<k)     

(5) int型变量循环左移k次，即a=a<<k|a>>16-k   (设sizeof(int)=16)
(6) int型变量a循环右移k次，即a=a>>k|a<<16-k   (设sizeof(int)=16)
(7)、整数的平均值
对于两个整数x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，会产生溢出，因为 x+y 可能会大于INT_MAX，但是我们知道它们的平均值是肯定不会溢出的，我们用如下算法：

int average(int x, int y)   //返回X、Y的平均值
{   
     return (x & y) + ( (x^y)>>1 );
	 //x&y  取出x和y二进制都为 1 的所有位，这是x、y都为 1 的部分，因为相同，所以直接加就行了
	 //x^y  x和y中有一个为 1 的所有位
	 //后者是x为 1，y为 0的部分，以及y为 1，x为 0 的部分，两部分加起来除以2，然后跟前面的相加就可以了
}

(8)对于一个数 x >= 0，判断是不是2的幂。

boolean power2(int x)
{
    return ( (x&(x-1))==0) && (x!=0);
}

(9)不用temp交换两个整数

void swap(int x , int y)
{
	x ^= y;
	y ^= x;
	x ^= y;
}

(10)计算绝对值

//因为i为0或-1，所以减i即是要么加0要么加1
int my_abs(int a)    //正数的时候，比较好理解
{
	int i = a >> 31;   //负数的时候，右移数值位补进符号位，导致32个bit都是1，也就是-1，此时 i 为-1
	return ( (a ^ i) - i);   //与 -1 即0xFFFFFFFF异或就相当于取反，然后减去-1，就相当于加1，也就是取反加1,
}

(11)取模运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

         a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)
(12)乘法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)
         a * (2^n) 等价于 a<< n
(13)除法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)
         a / (2^n) 等价于 a>> n
        例: 12/8 == 12>>3
(14) a % 2 等价于 a & 1      
(15) if (x == a)

                  x= b;
　　 else      x= a;
　　      等价于 x= a ^ b ^ x;
(16) x 的 相反数 表示为 (~x+1)
(17)输入2的n次方：1 << 19
(18)乘除2的倍数：千万不要用乘除法，非常拖效率。只要知道左移1位就是乘以2，右移1位就是除以2就行了。比如要算25 * 4，用25 << 2就好啦

 

实例

    功能              |          示例            |    位运算
----------------------+---------------------------+--------------------
去掉最后一位          | (101101->10110)          | x >> 1
在最后加一个0        | (101101->1011010)        | x < < 1
在最后加一个1        | (101101->1011011)        | x < < 1+1
把最后一位变成1      | (101100->101101)          | x | 1
把最后一位变成0      | (101101->101100)          | x | 1-1
最后一位取反          | (101101->101100)          | x ^ 1
把右数第k位变成1      | (101001->101101,k=3)      | x | (1 < < (k-1))
把右数第k位变成0      | (101101->101001,k=3)      | x & ~ (1 < < (k-1))
右数第k位取反        | (101001->101101,k=3)      | x ^ (1 < < (k-1))
取末三位              | (1101101->101)            | x & 7
取末k位              | (1101101->1101,k=5)      | x & ((1 < < k)-1)

取右数第k位          | (1101101->1,k=4)          | x >> (k-1) & 1

把末k位变成1          | (101001->101111,k=4)      | x | (1 < < k-1)
末k位取反            | (101001->100110,k=4)      | x ^ (1 < < k-1)
把右边连续的1变成0    | (100101111->100100000)    | x & (x+1)
把右起第一个0变成1    | (100101111->100111111)    | x | (x+1)
把右边连续的0变成1    | (11011000->11011111)      | x | (x-1)
取右边连续的1        | (100101111->1111)        | (x ^ (x+1)) >> 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000)        | x & (x ^ (x-1))
判断奇数       (x&1)==1
判断偶数        (x&1)==0    

二进制中分治思想
分治算法很常用，下面介绍二进制中几个有意思的应用。
1、求二进制中1的个数

算法思路是先求得局部个数在整合：
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
|  0 1  |  1 0  |  0 0  |  0 1  |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
|    0 0 1 1    |    0 0 0 1    |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
|        0 0 0 0 0 1 0 0        |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+

① 第一次按1-bit划分，将成对相邻的两个1-bit相加即为每2-bit中'1'的个数。由于两位中'1'的个数最多为2所以2-bit可以表示；
② 按2-bit划分，相邻两个2-bit相加即为每4-bit中'1'的个数。同样不会溢出。
③ 按4-bit划分...
④ 最后就能得到整个二进制中'1'的个数。

以32位为例的代码如下，计算时间复杂度常数且不需临时变量。

int BitCount(int n)
{
    n=(n & 0x55555555) + ((n>>1) & 0x55555555);
    n=(n & 0x33333333) + ((n>>2) & 0x33333333);
    n=(n & 0x0f0f0f0f) + ((n>>4) & 0x0f0f0f0f);
    n=(n & 0x00ff00ff) + ((n>>8) & 0x00ff00ff);
    n=(n & 0x0000ffff) + ((n>>16) & 0x0000ffff);
    return n;
}

2、将二进制逆序

算法原理是先局部交换整合完成整体交换：
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
|  0 1  |  1 1  |  0 0  |  0 1  |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
|    1 1 0 1    |    0 1 0 0    |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
|        0 1 0 0 1 1 0 1        |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+

① 第一次按1-bit划分，将成对相邻的两个1-bit交换。
② 按2-bit划分，相邻两个2-bit交换。
③ 按4-bit划分...
④ 最后就能得到逆序二进制。

以32位为例的代码如下，计算时间复杂度常数且不需临时变量。

int BitReverse(int n)
{
    n=((n & 0x55555555)<<1) | ((n & 0xaaaaaaaa)>>1);
    n=((n & 0x33333333)<<2) | ((n & 0xcccccccc)>>2);
    n=((n & 0x0f0f0f0f)<<4) | ((n & 0xf0f0f0f0)>>4);
    n=((n & 0x00ff00ff)<<8) | ((n & 0xff00ff00)>>8);
    n=((n & 0x0000ffff)<<16) | ((n & 0xffff0000)>>16);
    return n;
}